Svífandi á rauðglóandi skýi

Steinunn Ólína Þorsteinsdóttir skrifaði ágætan pistil, sem birtist í dag á vef Vísis. (Pistilinn má lesa með því að smella hér.) Þegar ég las hann varð mér hugsað til atviks í eigin lífi.

Á öðru árinu mínu í háskólanámi var stelpan mín orðin um eins árs. Mér gekk brösuglega að uppfylla námskröfur og var fullur samviskubits yfir því að vera ekki enn fyllilega kominn með tökin á því að eiga barn. Ég nálgaðist einn kennarann að lokum og reyndi af — að mér þá fannst — einstakri og margendurtekinni sjálfsvorkunn að kría út svolitla samúð.

Kennarinn brást ekki við á neinn þann hátt sem ég bjóst við. Hann setti upp bros sem lýsti skilningi og rifjaði síðan upp sína eigin reynslu. Hann hafði eignast barn um það leyti sem fréttir bárust af voðaverkum í Kambódíu. Stríðsfangar voru pyntaðir á hryllilegan hátt og þegar því var lýst hvernig sumir voru neyddir til vöku sólarhringum saman fannst honum að hann gæti skilið — þótt ekki væri nema að örlitlu leyti — þær þjáningar sem fangarnir gengu gegnum. Ég kom í leit að samúð en fann samkennd. Þessi viðurkenning á mínum raunum var mér meira virði en flest sem fólk fann upp á að segja mér um þetta leyti.

Barn á æviskeiði sem einkennist meðal annars af því að kunna ekki að segja „takk“.
Mynd sótt af: Infant - Wikipedia, the free encyclopedia 

Dóttir mín er gersemi en að veita henni þá umhyggju og ást sem ég vil hefur krafist meira af mér en ég hafði nokkru sinni ímyndað mér og oft er erfiðara að koma auga á tilgang og umbun en auðvelt er að viðurkenna. (Sérstaklega þegar svipbrigðin eru bara hlutlaust og hágrátur.) Það þrátt fyrir allt lán sem í því felst að eiga heilbrigt barn og stuðningsríka stórfjölskyldu.

Ef dóttir mín grefur þessa grein upp seinna vil ég ekki að hún láti hvarfla að sér að hún hafi reynst mér byrði eða ég beri til hennar nokkra kergju. Ég vil ekki fyrir nokkurn mun veikja vissu hennar um að vera kærkomin í heiminn og í mínu lífi en tæplega gerir það henni hærra undir höfði að segja bara: „Þetta var svo sem ekkert mál.“

Þegar vandinn er viðkvæmur er oft þögnin skeinuhættust. Tjáum okkur og tökumst á við erfiðleikana með reisn.

Hvunndagssadismi í kaffipásunni

Ég hef hingað til notað þetta blogg fyrir skrif um stærðfræði, raunvísindi og tengt efni. Ég ætla að breyta til.

Í sumar sat ég að snæðingi á kaffistofu starfsmanna þar sem ég hafði sumarvinnu. Einn vinnufélaganna var að deila með okkur hinum því sem hann hafði gert um helgina, sem var það helst að vinur hans hafði fengið að þola hina alræmdu steggjun.

Við rólegan hádegisverðinn nutum við því sagna af góðlátlegu mannráni og léttum pyntingum. Ég flissaði meðan stelpurnar settu upp grettur en hugsaði um leið að ég væri feginn að tilheyra ekki náið þeim vinskap sem þar var lýst — en ekki vildi ég drepa niður gamanið.

Líklega var viðkomandi stórkostlega skemmt og vináttan stórstyrkt. Sjálfsagt er nóg af masókistum í heiminum og ekki dæmi ég fólk fyrir að vilja annað en ég. Og tæplega hef ég gaman af því að pína aðra en eins og sögumaður lét falla, þá fær maður ekki oft tækifæri til þess að vera vondur við vini sína.

Nei, í alvöru.

Maður fær ekki oft tækifæri til að vera vondur við vini sína.

Ég skoða setninguna aftur og aftur en skil hana ekki alveg. Hef ég mistúlkað grunngildi mannlegra samvista? Á ég að vilja vera vondur við vini mína. (Kannski bara rétt þegar færi gefst?)

Ef ég tryði því beinlínis að þessi maður væri sérstaklega vondur eða siðlaus hefði ég ekki meiriháttar áhyggjur. Ég hef áhyggjur því samtalið var ekki ótækt — fremur í takt við menninguna.

Og nú nokkrum vikum síðar finn ég sérstaka þörf til að skrifa þetta því ég las þessa grein á mamamia.com.au um nauðgunarlagið Blurred Lines. Og í þessari grein um nauðgunarlagið Blurred Lines er haft eftir söngvaranum og lagahöfundinum Robin Thicke:

People say, “Hey, do you think this is degrading to women?” I’m like, “Of course it is. What a pleasure it is to degrade a woman. I’ve never gotten to do that before. I’ve always respected women.”

Og ég spyr mig ekki hvers konar manneskja segir svona. Ég spyr mig hvers konar menning býður upp á að þessi orð séu sögð.

Sumar-vísó-vinnó

Ég hef nú fengið sumarvinnu við Vísindavef Háskóla Íslands og því mun ég í sumar að miklu leyti beina þörf minni til að skrifa um stærðfræðileg og vísindaleg mál í þann farveg. Þó ætla ég að halda áfram eftir bestu getu að færa hér inn mál af því tagi sem mér þykja skemmtileg, áhugaverð eða mikilvæg.

Fyrir þá sem ekki vita er Vísindavefurinn vettvangur til að senda inn ýmsar spurningar sem kunna að brenna á fólki, sem er þá svarað ýmist af áhugafólki eða sérfróðum eftir tilefni og svörin svo birt á vefnum. Vefurinn er uppfærður alla virka daga með nýjum svörum og ég hvet lesendur til að skoða hann reglulega — eða senda inn spurningar finni þeir ekki réttu svörin þar fyrir.

Evrópuvefurinn er líka rekinn í samvinnu við Vísindavefinn. Mín störf koma honum ekki beint við en mér þykir hann áhugavert verkefni, þótt hann sé enn í þróun.

Gödel, Turing og lélegasti ritari í heimi

Þessi færsla er sjálfstætt framhald af greinunum Rúllukragar og svartigaldur og Að spila Angry Birds, annar hluti: Þegar tannhjólið hitti logratöfluna. 

M.C. Escher, Hendur í teikningu

„Þessi setning er ósönn.“

Hvernig tengist þessi einfalda setning upphafi tölvualdar? Svarið liggur í því hvernig þversögn á borð við þessa vísar í sjálfa sig. Í baráttu stærðfræðinga við mótsagnir komust þeir að raun um að viss ímynduð kerfi mundu óhjákvæmilega geta vísað í sig sjálf — en ekki aðeins það, heldur önnur hlistæð kerfi líka. Því má halda fram að þaðan hafi fæðst nútímahugtakið um tölvuna.


Að tala um sjálfan sig — og aðra

Um aldamótin 1900 var í hámæli meðal stærðfræðinga að formgera stærðfræðina. Þetta fólst í því að smíða — í grófum dráttum — rökfærslukerfi þar sem allar útleiðslur væru agnarsmáar og óvefengjanlegar út frá nokkrum fyrirfram ákveðnum forsendum. Viðamesta tilraunin kom líklega frá Bertrand Russell og Alfred N. Whitehead: Principia Mathematica — gefin út á árunum 1910-1913 í þremur ritum og eitthvað vel á annað þúsund blaðsíðum sem litu að mestu svona út (þetta er bláendirinn á útleiðslu þess að 1+1=2):

Sagt er* að þrír prófarkarlesarar hafi sagt upp störfum og einn hengt
sig kringum útgáfu Principia Mathematica.
(*Sá sem segir það er ég. Ég veit ekki betur en að það sé lygi.)

Vandinn var í fyrsta lagi að hafa kerfið altækt og í öðru lagi mótsagnalaust. Með öðrum orðum bæði nógu öflugt til að geta (að minnsta kosti með „nægum“ tíma og þolinmæði) svarað öllum „vel saman settum“ spurningum með annaðhvort „satt“ eða „ósatt“ og hins vegar að aldrei mætti fá bæði svarið „satt“ og „ósatt“ við sömu spurningunni.

Þversagnir eins og þessi hér efst voru óvinurinn og það vissi Russell. Helsta einkenni slíkra þversagna er að þær fela í sér eins konar „afturbeygingu“ — þær bíta í skottið á sér. Með það í huga lagði Russell upp með að útrýma slíkum afturbeygingum með ýmsum reglum.

Kurt Gödel

En 1931 gaf rétt hálfþrítugur austurrískur rökfræðingur út grein sem sneri öllu á hvolf. Greinin hét, í lauslegri íslenskri þýðingu: Formlega óákvarðanlegar setningar í „Principia Mathematica“ og tengdum kerfum. Rökfræðingurinn hét Kurt Gödel.

Kjarninn í grein Gödels var þessi: Ef kerfi af þessu tagi er nógu öflugt til að vera yfirhöfuð tækur kostur má „umrita“ fullyrðingar um það sjálft á máli sem það ræður við.

Nánar tiltekið: Lágmarkskrafa til svona kerfis er að með því sé hægt að orða vissar fullyrðingar um heiltölur og svo meðhöndla þær (Til dæmis: Ef x og y eru báðar stærri en 0 er margfeldið x·y stærra en 0.) — en þar lá líka hundurinn grafinn.

Undir kerfi af þessu tagi þarf í upphafi að sættast á tákn (gætu verið stafir í stafrófinu eða yfirhöfuð hvað sem höfundinum dettur í hug) en Gödel sá að það mætti alveg eins nota runur af tölustöfum. Til dæmis mætti ákveða að 11 stæði fyrir „+“ og 12 stæði fyrir „=“ og svo framvegis.

Með þessu móti gat hann umritað fullyrðingar með tölum og — það sem meira var — hann gat látið reikningsaðferðir koma í staðinn fyrir reglurnar sem leyfðar eru í útleiðslum. Til dæmis má skeyta saman táknum með margföldun og samlagningu: 11·100+12 gæfi töluna 1112, sem hér stæði fyrir (að vísu merkingarlausa) strenginn „+=“.

Þetta kann að virðast ómerkilegt en með þessum hætti náði Gödel að sýna að öll kerfi af þessu tagi gætu fullyrt um sig sjálf (að vísu líka öll önnur kerfi af sömu gerð) og sýndi fram á eftirfarandi (með svolítilli einföldun):

1. Ef formlegt kerfi af þessu tagi uppfyllir lágmarkskröfur er annaðhvort hægt að leiða út mótsögn (til dæmis „himinninn er blár“ og „himinninn er ekki blár“) eða þá að hægt er að orða fullyrðingar sem hvorki er hægt að sanna né afsanna.
2. Ef kerfið er mótsagnalaust er ekki hægt að sanna að það er mótsagnalaust.

Þetta var alger katastrófa. Stærðfræðingar voru (og eru enn) tilneyddir að vinna með kerfi sem þeir vissu ekki fyrir víst hvort fæli í sér mótsagnir.

En þegar einar dyr lokast opnast aðrar: Nú var orðin til skýr hugmynd um það hvernig með tölum og einföldum reikniaðferðum mátti smíða og meðhöndla flóknar fullyrðingar sem fóru langt út fyrir svið reiknings. Tölvunarfræðin var tilbúin að fæðast.


Maður, bók og stór pappírsrúlla

Alan Turing

Í kjölfar greinar Gödels kom út — árið 1937 — grein eftir annan ungan stærðfræðing, Alan Turing að nafni (Turing var þá rétt óorðinn 24 ára). Greinin komst að tengdri og álíka bjartsýnislegri niðurstöðu: Til eru verkefni sem ekki eru leysanleg í endanlega mörgum skrefum. (Formlega tekur þetta til reiknirita (e. algorithms) en heimspekinga og rökfræðinga greinir á um hversu víðtæk niðurstaðan er.)

(Það ber að nefna að árið áður gaf Alonzo Church, bandarískur stærðfræðingur, út sönnun á sömu niðurstöðu. Hans tæki og tengsl hans við tölvunarfræðina eru litlu eða engu síður merkileg en framlag Turings en ég læt mér nægja að tala um Turing hérna.)

Þar sem Gödel og aðrir stærðfræðingar höfðu notast við svokölluð formleg mál til þess að tákna kerfi sín fann Turing upp aðra hugmynd — ímyndaða vél — sem hafði fullkomlega hliðstæða eiginleika en hafði þann kost að hún var aðeins hársbreidd frá raunverulegri vél. Hún kallast Turing-vél og virkar svona:

Ímyndið ykkur mann — reikningsmann (í síðustu grein minntist ég á að þessi stétt manna var þá nefnd á ensku computers) — í herbergi. Hann situr við skrifborð með blýant, strokleður, gríðarlangan pappírsborða með afmörkuðum reitum í einni röð — og bók. En þessi tiltekni reikningsmaður á við ákaflega sértæka námsörðugleika að stríða. Hann getur aðeins þekkt örfá tákn og öll fyrirmæli sem gætu talist hið minnsta flókin eða tvíræð eru honum ofviða. Svo til þess að fá hann til að vinna vinnuna sína þarf að gefa honum ákaflega einföld fyrirmæli. Í bókinni eru því aðeins fyrirmæli á borð við þessi:

Lína 22:
Ef o: Skrifaðu x þess í stað, farðu einn reit til hægri, flettu upp línu 12
Ef x: Skrifaðu x þess í stað, farðu einn reit til vinstri, flettu upp línu 23
Lína 23:
Ef o: Skrifaðu x þess í stað, farðu einn reit til hægri, flettu upp línu 12
Ef x: Skrifaðu o þess í stað, farðu einn reit til vinstri, flettu upp línu 11

Með öðrum orðum fullkomlega einhlít, ótvíræð og hundleiðinleg fyrirmæli upp á einn einasta staf í einu. En þetta var hugmynd Turings og hún var frábær.

Hugtakið um Turing-vél leyfir að önnur tákn séu notuð en o og x (hefðbundið væri að nota 0 og 1) en nokkuð sem lesandinn kann að átta sig á er að fjöldi tákna skiptir ekki öllu máli. Ef við þurfum allt íslenska stafrófið og tölustafina má t.d. nota sex stafa runur af o og x:

ooooox = 1
ooooxo = 2
ooooxx = 3
...
ooxoxo = A
ooxoxx = B
ooxxoo = C
ooxxox = D

og svo framvegis...

Þótt ótrúlegt megi virðast nægir þessi „vél“ til þess að framkvæma hvaða reikninga sem er, svo lengi sem notandinn getur sýnt natni við að semja fyrirmælin og umrita inntakið. (Fyrirmælin eru það sem stendur í bókinni; inntakið er það sem stendur á borðanum þegar maðurinn byrjar á vinnu sinni.) Og eins og Gödel hafði sýnt svo óþægilega fram á, þá ná „reikningar“ langt út fyrir einfalda reikninga.

Reikningarnir gætu til dæmis falist í að fara yfir textarunu og kanna hvort orðið „sprengja“ kemur fyrir eða jafnvel að bera saman langan texta við stafsetningarorðabók og kanna hvort öll orðin finnast í orðabókinni. Það má jafnvel kóða mynd — depil fyrir depil — á borðann og láta reikningsmanninn breyta myndinni. Þetta krefðist vissulega þykkrar bókar og langs borða en þetta er samt í grunnatriðum það sem tölvur gera fyrir okkur á hverjum degi — og það með hlistæðum hætti.

(Turing setti fram tilgátu sem í dag er yfirleitt kölluð Turing-Church-tilgátan: Hún segir fyrir um að allar „vélrænar“ aðgerðarunur megi framkvæma með svona vél. Hún er tilgáta en ekki lögmál því hún er líklega ekki beinlínis sannanleg frekar en eðlisfræðilögmálin; aðeins sannreynanleg. Enn og aftur greinir heimspekinga og aðra á um hversu víðtæk sú fullyrðing getur verið. Sér í lagi er deiluefni hvort mannsheilann megi skoða sem Turing-vél).

Í grein Turings birtist svo algerlega frábær hugmynd:

Hægt er að búa til Turing-vél — þ.e. með því að skrifa fyrirmælin í bókina með réttum hætti — sem getur líkt eftir hvaða Turing-vél sem er.

Þannig má, ef fyrirmælin í bókinni eru rétt skrifuð, umkóða lýsingu á nýjum fyrirmælum og skrifa á borðann. Til dæmis má skrifa fyrirmælin hér að ofan með þessum hætti:

22:o;x,H,12:x;x,V,23
23:o;x,H,12:x;o,V,11

og umrita svo í ásættanlega runu af o og x og láta svo það sem mundi vera inntakið í nýju Turing-vélina á eftir því.

Sem sagt: Fyrst stendur á bandinu hvað vélin á að gera við rununa sem kemur á eftir og síðan kemur runan.

Þetta er kannski hálfóskiljanlegt svo ég skal reyna að útskýra: Bókin og maðurinn eru saman vélbúnaðurinn í tölvunni. Í flestum tölvum væri ígildi bókarinnar harðkóðað: Til að breyta fyrirmælunum í bókinni þarf að taka fram vír og lóðbolta. En þetta sneiðir hjá því. Með svona Turing-vél er hægt að gefa karlinum við skrifborðið ný fyrirmæli með engu nema borðarúllu og penna — eða gataspjöldum — eða lyklaborði. Forritið fær að vera á sama stað og gögnin.


Rafræni ritarinn

Þegar búið er að smækka hugmynd um reikniverk niður í þetta öreindaform er ekki lengur svo erfitt að ímynda sér að rafbúnaður gæti framkvæmt þessi skref. Allt sem þarf er að búa til vél sem getur lesið muninn á x og o (eins og Turing ímyndaði sér vélina var borðinn í raun segulband), og látið litla rofa í sér verka þannig að x og o sé skrifað á réttum stöðum.

Þetta er hugmyndin um Turing-lokaða vél: Vél sem getur líkt eftir hvaða Turing-vél sem er. Og sú hugmynd er í dag notuð sem grundvallarpróf fyrir það hvort tölva er tölva — eða bara ómerkileg reiknivél.

Vart þarf að taka fram að í þessari mynd kæmi Turing-vélin sjálf að litlu gagni: Jafnvel einfaldir reikningar tækju óratíma; það væri líklega ráðlegra að ráða reikningsmann sem gæti hugsað upp á eigin spýtur. En brátt gat Turing-vélin nýtt sér snerpu rafeindatækninnar með notkun útvarpslampa og — enn síðar — smárans (e. transistor). Afraksturinn liggur meðal annars í tækinu sem þú notar nú til að lesa þennan texta.

Afsakið – Hlé...

...að minnsta kosti næstu vikuna.


Hérna er ofanvarp á þrívítt rúm af ferverpli (þ.e. fjórvíðum teningi) sem snýst í fjórvíðu rúmi.

Tæknilega séð er þetta bara mynd af ofanvarpinu, þ.e. ofanvarp af ofanvarpinu.
(Mynd stolið af ensku Wikipedia-greininni um ferverpla.)

Að spila Angry Birds, annar hluti: Þegar tannhjólið hitti logratöfluna

Hluti af greiningarvél Babbage (mynd: Wikipedia)

(Þessi færsla er sjálfstætt framhald af þessari færslu. Fyrirvari: Ég ætla ekkert að tala um Angry Birds.)

Hér til hægri sést fyrsta tölvan.

Það er að segja, ef lokið hefði verið við smíðina mætti hér sjá hluta af fyrstu tölvunni.

Fullkláruð hefði vélin orðið bæði að stærð og þyngd á við eimreið -- auk þess sem hún hefði trúlega þurft gufuvél til að ganga.

Það gæti verið erfitt að sjá hvað vasavél sem leikur Angry Birds yfir internetið á skylt við þetta tæki en raunin er samt sú að fyrir utan öll jaðartækin (og gífurlegan mun á hraða) hefði þetta tæki verið stærðfræðilega jafngilt hvaða tölvu nútímans sem er -- fullyrðing sem er ekki vandalaust að ráða í.

Tölur á færibandi

Reikningsmenn að störfum á fimmta áratug 20. aldar.
(Mynd tekin djúpt úr iðrum internetsins)

Á 19. öld -- líkt og á tuttugustu öld -- og þeirri átjándu -- þurfti að reikna. Þegar menn voru á sjó eða stóðu í hernaði eða vildu vita hvort vefnaðarframleiðsla svaraði kostnaði þurfti að reikna. Ein leið til að stytta reikningana var að nota svokallaðar logratöflur -- þykkar bækur sem leyfðu mönnum að beita samlagningu og frádrætti í stað margföldunar og deilingar með því einu að fletta upp réttu tölunum. Fyrir þá sem þekkja reiknistokka var aðferðin svipuð og notkun þeirra, nema nákvæmari -- þegar allt fór að óskum.

En einhvers staðar varð líka að skrifa þessar bækur; reikna hvaða tölur áttu við hvaða uppflettingar. Þegar þurfti að framkvæma slíka reikninga, sem of tímafrekir voru fyrir hershöfðingja -- eða stærðfræðinga -- var reikningunum vísað til reikningsmanna. Reikningsmenn voru á ensku kallaðir computers.

Það þarf varla að taka það fram að ferlið var næmt fyrir villum og villur gátu skilið milli lífs og dauða fyrir sjómenn og aðra sem reiddu sig á nákvæmni í útreikningum.

Upp úr átján hundruð var fyrir atbeina frönsku ríkisstjórnarinnar hönnuð ný aðferð: Nokkrir stærðfræðingar voru fengnir til að skipta verki af þessu tagi upp í einfaldar einingar, svo fjölmargir reikningsmenn þyrftu aðeins hver um sig að framkvæma samlagningu og frádrátt. Þannig var hvert skref orðið einfalt og gegnsætt svo bæði mátti nýta verkafólk með aðeins lágmarkskunnáttu auk þess sem ólíklegra var að villur yrðu gerðar.

Charles Babbage vill ekki að þú hlaupir á grasinu.
(mynd: Wikipedia)

1812 sat Charles Babbage, ungur stærðfræðingur af efnuðu fólki og með menntun frá Cambridge, í herraklúbbi og skoðaði logratöflur (líklega því hann gat ekki spilað Angry Birds). Á Englandi var iðnbyltingin komin vel á skrið og því ekki að undra að þar sem hann sat datt Babbage í hug, fyrst skipta mætti reikningum niður í svo barnslega einfaldar aðgerðir líkt og gert hafði verið í Frakklandi, hvort ekki mætti setja vélar í stað reikningsmannanna. (Babbage var ekki bara auðvaldssinni heldur líka fýlupúki: Hann barðist seinna hatrammlega fyrir því að þingið bannaði þann leik að skoppa gjörðum.)

Um áratug síðar fór hugmynd Babbage að taka á sig mynd. Babbage setti fram hugmyndir sínar um það sem hann kallaði mismunavél (e. difference engine) -- í raun stór reiknivél -- og hlaut í styrk um 1700 pund til smíðarinnar (vegleg greiðsla -- svipuð upphæð og 15-20 milljónir íslenskra króna nú).

Eitt vandamál sem hrjáði ferlið er vandamál sem hrjáir vísindamenn enn í dag: Babbage var að selja annað en kaupandinn var að borga fyrir. Varla nokkur á breska þinginu gat verið í aðstöðu til að skilja hugmyndir hans til hlítar. Babbage vildi smíða stærðfræðilegt stórvirki -- bresku stjórnina langaði í betri logratöflur.

(Seinna lýsti Babbage gremjulegum samskiptum sínum: On two occasions, I have been asked [by members of Parliament], 'Pray, Mr. Babbage, if you put into the machine wrong figures, will the right answers come out?' I am not able to rightly apprehend the kind of confusion of ideas that could provoke such a question. -- Ef til vill voru þingmennirnir þó bara víðsýnni en Babbage, því Google, til dæmis, hefur að hluta leyst þetta vandamál með því að leiðrétta sjálfkrafa innsláttarvillur notenda.)

Mismunavélin notaði svipaða hugmynd (nánar tiltekið Mismunahlutfallaaðferð Newtons) og þá sem notuð hafði verið fyrir reikningsmennina í Frakklandi til þess að reikna gildi á margliðum.
Með öðrum orðum: Vélin kunni bara að leggja saman og draga frá en það dugði svo hún gæti margfaldað. Þetta er í raun nokkuð sem flestar tölvur gera enn í dag -- þær ráða tæplega við neitt flóknara en samlagningu.

Rétt til að ítreka: Hönnun Babbage notaðist hvergi við rafmagn eða rafeindatækni. Hún var að öllu leyti vélræn -- notaði tannhjól, reimar, sveifar og annað slíkt til þess að fá niðurstöður sínar. Klukkuhraði vélarinnar réðist af því hversu hratt notandinn gat snúið sveifinni. (Klukkuhraði helstu nútímaörgjörva telst í milljörðum slaga á sekúndu. Það þarf varla að taka fram að vélin mundi tætast í sundur áður en hún næði nærri því marki.)

Annað til að ítreka: Vélin varð aldrei smíðuð. Það er að segja ekki fyrr en rétt um aldamótin 2000.

Mismunavélin náði ekki því marki að vera það sem við köllum tölvu. Hún var í raun reiknivél -- og ekki einu sinni sú fyrsta. Blaise Pascal bæði hannaði og smíðaði vél sem fær var um svipaðar aðgerðir strax á 17. öld, þótt vél Babbage væri ívið margslugnari. Reyndar kom á daginn að Svíinn Per Georg Scheutz varð á undan Babbage að gera mismunavélina að veruleika -- fyrsta hönnun hans var fullgerð 1853.

Ein af reiknivélum Pascals; smíðuð 1652.
Notkun var svipuð og notkun síma með skífu: Hver skífa
stóð fyrir einingar, tugi, hundruð o.s.frv.; Útkoman sást í
gluggunum efst; til að bæta við tölu var prjón stungið á
réttan stað á skífunum og snúið þar til prjónninn nam
staðar við pinnann sem  festur er yfir skífuna.
(mynd: Wikipedia)

Meira en áratugur leið og var þó aðeins brot vélarinnar tilbúið. Þegar vélfræðingurinn sem sá um smíðina gafst upp á að vinna fyrir Babbage var útséð um að vélin yrði að veruleika.

En hönnunin var um það bil að stökkbreytast. Meðan Babbage vann að fullkomnun hennar ákvað hann -- fjárfestum til frekari gremju -- að eltast við möguleika sem mundi gjörbreyta kostum vélarinnar: Möguleika sem getur breytt reiknivél í tölvu.

Að heyra eigin hugsanir

Mismunavélin var fær um að taka við tölum frá notanda og skila frá sér niðurstöðu á blaði (þótt ótrúlegt megi virðast var prentari innbyggður í hönnunina) þannig að notandinn skildi.

En hvað ef vélin væri fær um að taka við upplýsingum frá sjálfri sér? Hvað ef vélin gæti jafnvel lagt niðurstöður til hliðar og notað þær seinna þegar hentaði?

Babbage víkkaði út hugmyndir sínar svo reiknivélin gæti ekki aðeins tekið við tölum, heldur gæti ákvarðað út frá tölunum hvað ætti að gera næst -- jafnvel geymt tölu til hliðar og fengið skipun seinna (kannski frá sjálfri sér) um að setja hana inn í reikninga. Á tölvunarfræðimáli hefði nú vélin ráðið við bæði lykkjur og skilyrtar skipanir. Það er að segja „gerðu svona þangað til þetta gerist“ og „gerðu svona ef þetta gildir en annars svona.“

Miklu síðar hefði verið sagt að hönnunin væri Turing-fullkomin. Það er grunnskilyrði þess að tölva sé í alvöru tölva. Þetta tæki var ekki lengur mismunavél -- reiknivél -- heldur tölva. Babbage nefndi hana greiningarvél (e. analytical engine).

Fljótlega gáfust stjórnvöld upp á að styrkja verkefnið* en sjálfur dundaði Babbage sér við hönnunina allt fram að dauða sínum 1871, eftir að honum tókst að fá hlutann hér efst á síðunni smíðaðan. Áður en yfir lauk var hönnunin meðal annars búin lesara fyrir gataspjöld, minnissvæði, prentara og reikniverki („kvörn“ -- mill -- kallaði hann það).

*Skiljanlegt þegar litið er til þess að 17.000 pund -- tíföld upphaflega upphæðin -- skilaði þeim aðeins broti úr reiknivél sem hönnuðurinn hafði sjálfur gert úrelta. (Mig rámar í að Strætó bs. hafi lent í svipuðum vanda um miðjan síðasta áratug.)

Á sínum efri árum lauk Babbage nýrri hönnun á mismunavél, sem var smíðuð kringum 1990 og fékk prentara árið 2000. Bæði vélin og prentarinn virkaði eins og til var ætlast.

Mismunavél Babbage stendur á Vísindasafni London.
Greiningarvélin hefur þó ekki enn verið gerð.
(mynd: Wikipedia)

Augljóslega háði honum að hafa ekki aðgang að þeirri rafeindatækni sem átti eftir að koma til á 20. öldinni en annað kann líka að hafa komið til.

Ef einhverjum þykir erfitt að ímynda sér hvernig vélin átti að virka af lýsingum og myndum er það kannski ekki sérstaklega skrýtið. Babbage var ef til vill faðir tölvunnar en hann hafði vanrækt að finna upp tölvunarfræði -- leið til að gera sig skiljanlegan, bæði gagnvart öðrum og sjálfum sér.

Meðan hann barðist við að hanna vélina á vélfræðilegum grunni neyddist hann vegna þess hversu vélin var orðin flókin að haga teikningunum að hluta á torkennilegan, óhlutbundinn hátt og virtist eiga í erfiðleikum með að taka ákvarðanir um tilhögun bæði hönnunar og framkvæmdar.

Hönnunin var svo til fullgerð en var aldrei færð í nokkuð form nálægt því að hægt væri að rétta vélfræðingi teikningar og segja „jæja, smíðaðu nú þetta fyrir mig“.

Jafnvel virðist Babbage sjálfur ekki hafa gert sér fulla grein fyrir möguleikum vélarinnar. Meðan hann sá aðeins fyrir sér talnamaskínu hafði til dæmis Ada, greifynja af Lovelace -- dóttir Byrons lávarðs, hjálparhella Babbage um hríð og stundum nefnd fyrsti forritarinn -- þetta að segja:

[V]ery valuable practical results would be developed by the extended powers of the Analytical Engine, some of which would be brought forth by the daily increasing requirements of science and by a more intimate practical acquaintance with the powers of the engine, were it in actual existence.

Lovelace gæti hafa verið sú eina sem gerði sér þó grein fyrir því að nýtingarmöguleikar vélarinnar væru miklir og ófyrirséðir. Lítill áhugi virtist eftir dauða Babbage á að fullgera greiningarvélina.

Á ofanverðri 19. öld voru reiknivélar, t.d. af gerð Per Georg Scheutz, orðnar tiltölulega útbreiddar en smíði raunverulegra tölva beið tilkomu tölvunarfræðinnar upp úr 1930. Hún átti eftir að fæðast af einhverjum mestu vonbrigðum stærðfræðinnar -- og einhverjum mestu gersemum hennar; Ófullkomleikasetningum Gödels.

Rúllukragar og svartigaldur

Þriðja lögmál Clarkes: „Tækni sem nægilega er þróuð er óaðgreinanleg frá göldrum.“

Ég horfði einhvern tímann á frönsku gamanmyndina „Les Visiteurs 2.“ (Mér þótti hún skemmtileg en þar sem ég var líklega um 10-11 ára vísa ég frá dómi um gæði hennar.) Hún fjallar um Godefroy, hinn hugumprúða greifa af Montmirail (Jean Reno), og hrappinn Jacquouille (Christian Clavier) þar sem þeir hendast óvænt frá elleftu öldinni til þeirrar tuttugustu -- væntanlega 1998 miðað við hvenær myndin kom út.

Eða er þetta blómapottur?

Eitt atriði úr myndinni er mér minnisstætt (allavega í grundvallaratriðum), þar sem Jacquouille sá konu tala í sjónvarpinu. Hann ákvað greinilega að taka sér hlé frá því að vera þorpari, því hann greip sjónvarpið í snarhasti og freistaði þess að frelsa konuna úr prísund sinni í kassanum.

Nú, mér þótti, sem 10 ára strák -- jafnvel enn frekar en nú -- ótrúlega skemmtilegt að geta sett mig svona á háan hest og hlegið að fáfræði miðaldamannsins. Það væri nú gaman að komast aftur í tímann og geta sýnt miðaldaskrílnum hvað gera mætti með tækninni. (Eftir að hafa lært meira um réttarkerfi Evrópu á miðöldum er ég ekki lengur viss um hugsanlegt skemmtanagildi þeirrar ferðar.)

En einhvern tímann, um það leyti sem ég öðlaðist vit til, áttaði ég mig á því að ég hafði eiginlega engar forsendur til að telja sjónvarpið ekki galdra. Um svipað leyti fékk ég reyndar að opna sjónvarp og sjá hvað væri inni í því. Ég gat ekki svarað því hvernig svartur plastkassi gat framkallað mynd; ég gat heldur ekki svarað því hvernig vírahrúga og stór salatskál á hvolfi gat framkallað mynd.

Síðan leið einhver áratugur og dag einn árið 2007 kom maður með rúllukragapeysu á svið í Ameríku og tókst að sannfæra drjúgan hluta heimsbyggðarinnar um að það væri virkilega sniðugt að eiga þetta:

Steve Jobs glotti ekki að ástæðulausu: Hann svindlaði minnst
þrjú einkaleyfi út úr kölska til að komast svona langt.
(Kölski reyndist á endanum nokkuð harðari en Steve Wozniak.)

Eftir að hafa farið vandlega yfir þekktar galdrarúnir og álagaþulur komst ég þó að því að þær dugðu ekki til þess að ég gæti átt samtal við mömmu þar sem hún situr á Mallorca með því einu að snerta mynd af henni. (Ef einhver er duglegur að taka slátur er ég þó með töluvert af geitablóði afgangs).

Nú, ég tel mig rökfastan mann svo ég beitti útilokunaraðferð og sá að ég þyrfti trúlega að leita skýringa annars staðar.

Áður en ég held lengra er þó rétt að leiðrétta vissar staðalmyndir: Stærðfræðin hefur aðeins takmarkaðan áhuga á því að vita hvað drengurinn átti mörg epli til eftir að borða 2 af 7. Stærðfræðingur gæti hins vegar auðveldlega sagt þér að það er hægt að komast að því og jafnvel boðist til að lýsa aðferðinni (í grunnatriðum felst hún í frádrætti).

Ég tel mig af meiði stærðfræðinga og mínar skýringar gætu verið í þeim dúr. (Ég viðurkenni að þessi staðalmynd er að hluta spunnin upp til að afsaka eigin leti.)

Að horfa, heyra og snerta

(Nokkur fyrirvaraorð: Þessa þætti er að finna í flestum nýlegum snjallsímum, sama hvaða merki er prentað á plastið. Ég ætla heldur ekki að halda því fram að iPhone hafi verið fyrstur með neina tiltekna tækni sem í honum er að finna -- en fólkinu hjá Apple er að minnsta kosti lagið að vekja athygli. Með öðrum orðum: Plísplísplís ekki blanda mér í deilur um hvort iPhone eða Samsung Galaxy er betri.)

Í símanum er rafhlaða, sem vonandi heldur nokkuð stöðugri rafspennu á kerfinu, skjár, sem er með eitthvað vel yfir milljón litla dimmera, myndavél sem breytir ljósi í rafstraum, hátalarar, sem eins og aðrir hátalarar taka titring í rafmagni og breyta í titring í lofti, og hljóðnemi, sem gerir það sama, nema öfugt.

Jú, svo er víst snertiskynjari í skjánum -- sem sendir mismikinn straum til nokkurra straummæla eftir því hvar fingurnir snerta skjáinn -- og nokkrar litlar græjur sem nefnast hröðunarmælar. (Hröðunarmælar mæla hvernig örlítið lóð hreyfist fram og til baka og segja þannig, meðal annars, til um hvernig síminn snýr.) Þar er líka græja sem gerir einmitt öfugt við það sem hröðunarmælarnir gera -- tekur við rafstraumi og hreyfir þannig lítið lóð. Sem sagt -- titrari (mér skilst að fyrsta „X-rated“ iPhone-appið sem Apple samþykkti -- sem nefnist „MyVibe“ -- nýti sér einmitt þann tiltekna íhlut.)

Svo væri tæplega hægt að kalla þessa tölvu síma nema fyrir sendi og móttakara -- græjur sem annars vegar nota rafstraum til þess að losa ljóseindir -- örbylgjur -- og hins vegar gefa frá sér rafstraum þegar ljóseindir skella á þeim. (Svipaður sendir og móttakari er fyrir WiFi-kerfið, nema þá eru notaðar aðrar bylgjulengdir -- á sviði útvarpsbylgja í stað örbylgja.)

Allir hlutirnir hér að ofan eru svokallaðir orkubreytar (e. transducer). Þeir taka eitt form af orku og breyta í annað. „Orka“ er stundum erfitt hugtak en það má -- án þess að ljúga neitt óskaplega mikið -- segja að þessir orkubreytar breyti allir titringi í annars konar titring. (Helsta undantekningin er rafhlaðan. Hún geymir efnaorku -- eins konar stöðuorku, sem -- líkt og spennt fjöður -- er titringur sem bíður eftir að verða til.)

Með þeim augum er þá rafstraumur titringur í rafeindum; ljós, örbylgjur og útvarpsbylgjur eru titringur í rafsegulsviðinu* og hljóð er -- auðvitað -- titringur í lofti (eða öðrum efnum ef svo vill til). Titringurinn frá titraranum er -- titringur. Í efni. Hvað hélstu?

(*Ég hef þegar samið eina færslu um rafsegulbylgjur og það væri efni í margar enn að tjá bara þann takmarkaða skilning sem ég hef á efninu. Látum okkur nægja að hugsa um rafsegulsvið sem eins konar ósýnilegt „efni“ sem umlykur allt. Ég vona bara að þeir eðlisfræðingar sem kunna að búa til bréfsprengjur séu of uppteknir til að senda mér póst.)

Stundum, eins og í lóðinu í hröðunarmælinum, er reyndar hreyfingin aðeins of löt til að það megi með góðu móti tala um titring. Það hafa þó flestir séð trommara slá kjuða á húð og þannig breyta nokkuð beinni hreyfingu í titring svo tengingin ætti ekki að vera of framandi.

Að sjá, hlusta og finna

Nú gæti þurft að fjarlægja nokkrar skrúfur, smá víradrasl og plasthlífar, ef til vill einhverja takka og hugsanlega einn eða tvo byltingarkennda íhluti sem ég gleymdi alveg að nefna. En ef ég fer ekki fram úr sjálfum mér ætti að standa eftir eitthvað þessu líkt:

Móðurborð er fínt orð yfir „plastspjald með áföstum vírum og
öllu dótinu sem við mundum ekki nenna að fikta í.“

Þetta kallast móðurborð.

Á móðurborðinu eru meðal annars litlar rásir sem breyta stafrænum rafboðum í flaumræn rafboð (e. Digital-to-Analog Converter eða DAC) og aðrir kubbar (Analog-to-Digital Converter -- ADC) sem gera hið gagnstæða.

Þegar manneskja les nótur og leikur lagið á fiðlu tekur hún á sig sama hlutverk með því að breyta því sem er á nótunum (stafrænt -- nótur eru „stafir“ í þeim skilningi) í margslungnar hreyfingar handanna („flaumrænt“) sem svo framkallar tónlist (líka flaumrænt).

Þessir kubbar eru nauðsynlegir til að framkalla meðal annars mynd og hljóð og sömuleiðis til að breyta boðum frá myndavél og hljóðnema í stafræn rafboð. Líkt og það þýðir lítið að leggja miða með textanum „30 km/klst“ á bensíngjöf mundi hátalari tæplega gera margt að gagni með stafræn boð.

Hönnun DAC- og ADC-eininga er lykilþáttur í að gera tölvur jafngagnlegar (og gera þær að jafnmikilli tímasóun) og þær eru í dag. Ýmsar, misflóknar leiðir eru til að búa þær til en ég ætla ekki að fara sérstaklega í það núna (fyrst og fremst því ég hef ekki hugmynd um hvernig þær virka).

Allt sem ég hef nefnt er fáránlega sniðugt, ótrúlega merkilegt og er án efa afrakstur þjáninga, þrotlausrar vinnu og brostinna hjónabanda. Það mætti að ósekju semja heilu bækurnar um efnið (það er reyndar gert í nokkuð stórum stíl).

Ég er búinn að tína til, í grófum dráttum, allar leiðir sem tölvan hefur til þess að tjá sig og skilja. Það er bara einn þáttur eftir: Karlinn í kassanum, púkinn með talnagrindina; tölvan.

Hvers konar vél skilur og gerir sig skiljanlega en skilur þó ekkert og hefur engar meiningar?

Ég byrjaði þessa færslu til þess eins að komast að þessari spurningu en ég sé núna að sú spurning væri prýðilegt efni í næstu færslu. (J.J. Abrams væri sammála mér).

Þar til næst,

Einar Axel