Afsakið – Hlé...

...að minnsta kosti næstu vikuna.


Hérna er ofanvarp á þrívítt rúm af ferverpli (þ.e. fjórvíðum teningi) sem snýst í fjórvíðu rúmi.

Tæknilega séð er þetta bara mynd af ofanvarpinu, þ.e. ofanvarp af ofanvarpinu.
(Mynd stolið af ensku Wikipedia-greininni um ferverpla.)

Að spila Angry Birds, annar hluti: Þegar tannhjólið hitti logratöfluna

Hluti af greiningarvél Babbage (mynd: Wikipedia)

(Þessi færsla er sjálfstætt framhald af þessari færslu. Fyrirvari: Ég ætla ekkert að tala um Angry Birds.)

Hér til hægri sést fyrsta tölvan.

Það er að segja, ef lokið hefði verið við smíðina mætti hér sjá hluta af fyrstu tölvunni.

Fullkláruð hefði vélin orðið bæði að stærð og þyngd á við eimreið -- auk þess sem hún hefði trúlega þurft gufuvél til að ganga.

Það gæti verið erfitt að sjá hvað vasavél sem leikur Angry Birds yfir internetið á skylt við þetta tæki en raunin er samt sú að fyrir utan öll jaðartækin (og gífurlegan mun á hraða) hefði þetta tæki verið stærðfræðilega jafngilt hvaða tölvu nútímans sem er -- fullyrðing sem er ekki vandalaust að ráða í.

Tölur á færibandi

Reikningsmenn að störfum á fimmta áratug 20. aldar.
(Mynd tekin djúpt úr iðrum internetsins)

Á 19. öld -- líkt og á tuttugustu öld -- og þeirri átjándu -- þurfti að reikna. Þegar menn voru á sjó eða stóðu í hernaði eða vildu vita hvort vefnaðarframleiðsla svaraði kostnaði þurfti að reikna. Ein leið til að stytta reikningana var að nota svokallaðar logratöflur -- þykkar bækur sem leyfðu mönnum að beita samlagningu og frádrætti í stað margföldunar og deilingar með því einu að fletta upp réttu tölunum. Fyrir þá sem þekkja reiknistokka var aðferðin svipuð og notkun þeirra, nema nákvæmari -- þegar allt fór að óskum.

En einhvers staðar varð líka að skrifa þessar bækur; reikna hvaða tölur áttu við hvaða uppflettingar. Þegar þurfti að framkvæma slíka reikninga, sem of tímafrekir voru fyrir hershöfðingja -- eða stærðfræðinga -- var reikningunum vísað til reikningsmanna. Reikningsmenn voru á ensku kallaðir computers.

Það þarf varla að taka það fram að ferlið var næmt fyrir villum og villur gátu skilið milli lífs og dauða fyrir sjómenn og aðra sem reiddu sig á nákvæmni í útreikningum.

Upp úr átján hundruð var fyrir atbeina frönsku ríkisstjórnarinnar hönnuð ný aðferð: Nokkrir stærðfræðingar voru fengnir til að skipta verki af þessu tagi upp í einfaldar einingar, svo fjölmargir reikningsmenn þyrftu aðeins hver um sig að framkvæma samlagningu og frádrátt. Þannig var hvert skref orðið einfalt og gegnsætt svo bæði mátti nýta verkafólk með aðeins lágmarkskunnáttu auk þess sem ólíklegra var að villur yrðu gerðar.

Charles Babbage vill ekki að þú hlaupir á grasinu.
(mynd: Wikipedia)

1812 sat Charles Babbage, ungur stærðfræðingur af efnuðu fólki og með menntun frá Cambridge, í herraklúbbi og skoðaði logratöflur (líklega því hann gat ekki spilað Angry Birds). Á Englandi var iðnbyltingin komin vel á skrið og því ekki að undra að þar sem hann sat datt Babbage í hug, fyrst skipta mætti reikningum niður í svo barnslega einfaldar aðgerðir líkt og gert hafði verið í Frakklandi, hvort ekki mætti setja vélar í stað reikningsmannanna. (Babbage var ekki bara auðvaldssinni heldur líka fýlupúki: Hann barðist seinna hatrammlega fyrir því að þingið bannaði þann leik að skoppa gjörðum.)

Um áratug síðar fór hugmynd Babbage að taka á sig mynd. Babbage setti fram hugmyndir sínar um það sem hann kallaði mismunavél (e. difference engine) -- í raun stór reiknivél -- og hlaut í styrk um 1700 pund til smíðarinnar (vegleg greiðsla -- svipuð upphæð og 15-20 milljónir íslenskra króna nú).

Eitt vandamál sem hrjáði ferlið er vandamál sem hrjáir vísindamenn enn í dag: Babbage var að selja annað en kaupandinn var að borga fyrir. Varla nokkur á breska þinginu gat verið í aðstöðu til að skilja hugmyndir hans til hlítar. Babbage vildi smíða stærðfræðilegt stórvirki -- bresku stjórnina langaði í betri logratöflur.

(Seinna lýsti Babbage gremjulegum samskiptum sínum: On two occasions, I have been asked [by members of Parliament], 'Pray, Mr. Babbage, if you put into the machine wrong figures, will the right answers come out?' I am not able to rightly apprehend the kind of confusion of ideas that could provoke such a question. -- Ef til vill voru þingmennirnir þó bara víðsýnni en Babbage, því Google, til dæmis, hefur að hluta leyst þetta vandamál með því að leiðrétta sjálfkrafa innsláttarvillur notenda.)

Mismunavélin notaði svipaða hugmynd (nánar tiltekið Mismunahlutfallaaðferð Newtons) og þá sem notuð hafði verið fyrir reikningsmennina í Frakklandi til þess að reikna gildi á margliðum.
Með öðrum orðum: Vélin kunni bara að leggja saman og draga frá en það dugði svo hún gæti margfaldað. Þetta er í raun nokkuð sem flestar tölvur gera enn í dag -- þær ráða tæplega við neitt flóknara en samlagningu.

Rétt til að ítreka: Hönnun Babbage notaðist hvergi við rafmagn eða rafeindatækni. Hún var að öllu leyti vélræn -- notaði tannhjól, reimar, sveifar og annað slíkt til þess að fá niðurstöður sínar. Klukkuhraði vélarinnar réðist af því hversu hratt notandinn gat snúið sveifinni. (Klukkuhraði helstu nútímaörgjörva telst í milljörðum slaga á sekúndu. Það þarf varla að taka fram að vélin mundi tætast í sundur áður en hún næði nærri því marki.)

Annað til að ítreka: Vélin varð aldrei smíðuð. Það er að segja ekki fyrr en rétt um aldamótin 2000.

Mismunavélin náði ekki því marki að vera það sem við köllum tölvu. Hún var í raun reiknivél -- og ekki einu sinni sú fyrsta. Blaise Pascal bæði hannaði og smíðaði vél sem fær var um svipaðar aðgerðir strax á 17. öld, þótt vél Babbage væri ívið margslugnari. Reyndar kom á daginn að Svíinn Per Georg Scheutz varð á undan Babbage að gera mismunavélina að veruleika -- fyrsta hönnun hans var fullgerð 1853.

Ein af reiknivélum Pascals; smíðuð 1652.
Notkun var svipuð og notkun síma með skífu: Hver skífa
stóð fyrir einingar, tugi, hundruð o.s.frv.; Útkoman sást í
gluggunum efst; til að bæta við tölu var prjón stungið á
réttan stað á skífunum og snúið þar til prjónninn nam
staðar við pinnann sem  festur er yfir skífuna.
(mynd: Wikipedia)

Meira en áratugur leið og var þó aðeins brot vélarinnar tilbúið. Þegar vélfræðingurinn sem sá um smíðina gafst upp á að vinna fyrir Babbage var útséð um að vélin yrði að veruleika.

En hönnunin var um það bil að stökkbreytast. Meðan Babbage vann að fullkomnun hennar ákvað hann -- fjárfestum til frekari gremju -- að eltast við möguleika sem mundi gjörbreyta kostum vélarinnar: Möguleika sem getur breytt reiknivél í tölvu.

Að heyra eigin hugsanir

Mismunavélin var fær um að taka við tölum frá notanda og skila frá sér niðurstöðu á blaði (þótt ótrúlegt megi virðast var prentari innbyggður í hönnunina) þannig að notandinn skildi.

En hvað ef vélin væri fær um að taka við upplýsingum frá sjálfri sér? Hvað ef vélin gæti jafnvel lagt niðurstöður til hliðar og notað þær seinna þegar hentaði?

Babbage víkkaði út hugmyndir sínar svo reiknivélin gæti ekki aðeins tekið við tölum, heldur gæti ákvarðað út frá tölunum hvað ætti að gera næst -- jafnvel geymt tölu til hliðar og fengið skipun seinna (kannski frá sjálfri sér) um að setja hana inn í reikninga. Á tölvunarfræðimáli hefði nú vélin ráðið við bæði lykkjur og skilyrtar skipanir. Það er að segja „gerðu svona þangað til þetta gerist“ og „gerðu svona ef þetta gildir en annars svona.“

Miklu síðar hefði verið sagt að hönnunin væri Turing-fullkomin. Það er grunnskilyrði þess að tölva sé í alvöru tölva. Þetta tæki var ekki lengur mismunavél -- reiknivél -- heldur tölva. Babbage nefndi hana greiningarvél (e. analytical engine).

Fljótlega gáfust stjórnvöld upp á að styrkja verkefnið* en sjálfur dundaði Babbage sér við hönnunina allt fram að dauða sínum 1871, eftir að honum tókst að fá hlutann hér efst á síðunni smíðaðan. Áður en yfir lauk var hönnunin meðal annars búin lesara fyrir gataspjöld, minnissvæði, prentara og reikniverki („kvörn“ -- mill -- kallaði hann það).

*Skiljanlegt þegar litið er til þess að 17.000 pund -- tíföld upphaflega upphæðin -- skilaði þeim aðeins broti úr reiknivél sem hönnuðurinn hafði sjálfur gert úrelta. (Mig rámar í að Strætó bs. hafi lent í svipuðum vanda um miðjan síðasta áratug.)

Á sínum efri árum lauk Babbage nýrri hönnun á mismunavél, sem var smíðuð kringum 1990 og fékk prentara árið 2000. Bæði vélin og prentarinn virkaði eins og til var ætlast.

Mismunavél Babbage stendur á Vísindasafni London.
Greiningarvélin hefur þó ekki enn verið gerð.
(mynd: Wikipedia)

Augljóslega háði honum að hafa ekki aðgang að þeirri rafeindatækni sem átti eftir að koma til á 20. öldinni en annað kann líka að hafa komið til.

Ef einhverjum þykir erfitt að ímynda sér hvernig vélin átti að virka af lýsingum og myndum er það kannski ekki sérstaklega skrýtið. Babbage var ef til vill faðir tölvunnar en hann hafði vanrækt að finna upp tölvunarfræði -- leið til að gera sig skiljanlegan, bæði gagnvart öðrum og sjálfum sér.

Meðan hann barðist við að hanna vélina á vélfræðilegum grunni neyddist hann vegna þess hversu vélin var orðin flókin að haga teikningunum að hluta á torkennilegan, óhlutbundinn hátt og virtist eiga í erfiðleikum með að taka ákvarðanir um tilhögun bæði hönnunar og framkvæmdar.

Hönnunin var svo til fullgerð en var aldrei færð í nokkuð form nálægt því að hægt væri að rétta vélfræðingi teikningar og segja „jæja, smíðaðu nú þetta fyrir mig“.

Jafnvel virðist Babbage sjálfur ekki hafa gert sér fulla grein fyrir möguleikum vélarinnar. Meðan hann sá aðeins fyrir sér talnamaskínu hafði til dæmis Ada, greifynja af Lovelace -- dóttir Byrons lávarðs, hjálparhella Babbage um hríð og stundum nefnd fyrsti forritarinn -- þetta að segja:

[V]ery valuable practical results would be developed by the extended powers of the Analytical Engine, some of which would be brought forth by the daily increasing requirements of science and by a more intimate practical acquaintance with the powers of the engine, were it in actual existence.

Lovelace gæti hafa verið sú eina sem gerði sér þó grein fyrir því að nýtingarmöguleikar vélarinnar væru miklir og ófyrirséðir. Lítill áhugi virtist eftir dauða Babbage á að fullgera greiningarvélina.

Á ofanverðri 19. öld voru reiknivélar, t.d. af gerð Per Georg Scheutz, orðnar tiltölulega útbreiddar en smíði raunverulegra tölva beið tilkomu tölvunarfræðinnar upp úr 1930. Hún átti eftir að fæðast af einhverjum mestu vonbrigðum stærðfræðinnar -- og einhverjum mestu gersemum hennar; Ófullkomleikasetningum Gödels.

Rúllukragar og svartigaldur

Þriðja lögmál Clarkes: „Tækni sem nægilega er þróuð er óaðgreinanleg frá göldrum.“

Ég horfði einhvern tímann á frönsku gamanmyndina „Les Visiteurs 2.“ (Mér þótti hún skemmtileg en þar sem ég var líklega um 10-11 ára vísa ég frá dómi um gæði hennar.) Hún fjallar um Godefroy, hinn hugumprúða greifa af Montmirail (Jean Reno), og hrappinn Jacquouille (Christian Clavier) þar sem þeir hendast óvænt frá elleftu öldinni til þeirrar tuttugustu -- væntanlega 1998 miðað við hvenær myndin kom út.

Eða er þetta blómapottur?

Eitt atriði úr myndinni er mér minnisstætt (allavega í grundvallaratriðum), þar sem Jacquouille sá konu tala í sjónvarpinu. Hann ákvað greinilega að taka sér hlé frá því að vera þorpari, því hann greip sjónvarpið í snarhasti og freistaði þess að frelsa konuna úr prísund sinni í kassanum.

Nú, mér þótti, sem 10 ára strák -- jafnvel enn frekar en nú -- ótrúlega skemmtilegt að geta sett mig svona á háan hest og hlegið að fáfræði miðaldamannsins. Það væri nú gaman að komast aftur í tímann og geta sýnt miðaldaskrílnum hvað gera mætti með tækninni. (Eftir að hafa lært meira um réttarkerfi Evrópu á miðöldum er ég ekki lengur viss um hugsanlegt skemmtanagildi þeirrar ferðar.)

En einhvern tímann, um það leyti sem ég öðlaðist vit til, áttaði ég mig á því að ég hafði eiginlega engar forsendur til að telja sjónvarpið ekki galdra. Um svipað leyti fékk ég reyndar að opna sjónvarp og sjá hvað væri inni í því. Ég gat ekki svarað því hvernig svartur plastkassi gat framkallað mynd; ég gat heldur ekki svarað því hvernig vírahrúga og stór salatskál á hvolfi gat framkallað mynd.

Síðan leið einhver áratugur og dag einn árið 2007 kom maður með rúllukragapeysu á svið í Ameríku og tókst að sannfæra drjúgan hluta heimsbyggðarinnar um að það væri virkilega sniðugt að eiga þetta:

Steve Jobs glotti ekki að ástæðulausu: Hann svindlaði minnst
þrjú einkaleyfi út úr kölska til að komast svona langt.
(Kölski reyndist á endanum nokkuð harðari en Steve Wozniak.)

Eftir að hafa farið vandlega yfir þekktar galdrarúnir og álagaþulur komst ég þó að því að þær dugðu ekki til þess að ég gæti átt samtal við mömmu þar sem hún situr á Mallorca með því einu að snerta mynd af henni. (Ef einhver er duglegur að taka slátur er ég þó með töluvert af geitablóði afgangs).

Nú, ég tel mig rökfastan mann svo ég beitti útilokunaraðferð og sá að ég þyrfti trúlega að leita skýringa annars staðar.

Áður en ég held lengra er þó rétt að leiðrétta vissar staðalmyndir: Stærðfræðin hefur aðeins takmarkaðan áhuga á því að vita hvað drengurinn átti mörg epli til eftir að borða 2 af 7. Stærðfræðingur gæti hins vegar auðveldlega sagt þér að það er hægt að komast að því og jafnvel boðist til að lýsa aðferðinni (í grunnatriðum felst hún í frádrætti).

Ég tel mig af meiði stærðfræðinga og mínar skýringar gætu verið í þeim dúr. (Ég viðurkenni að þessi staðalmynd er að hluta spunnin upp til að afsaka eigin leti.)

Að horfa, heyra og snerta

(Nokkur fyrirvaraorð: Þessa þætti er að finna í flestum nýlegum snjallsímum, sama hvaða merki er prentað á plastið. Ég ætla heldur ekki að halda því fram að iPhone hafi verið fyrstur með neina tiltekna tækni sem í honum er að finna -- en fólkinu hjá Apple er að minnsta kosti lagið að vekja athygli. Með öðrum orðum: Plísplísplís ekki blanda mér í deilur um hvort iPhone eða Samsung Galaxy er betri.)

Í símanum er rafhlaða, sem vonandi heldur nokkuð stöðugri rafspennu á kerfinu, skjár, sem er með eitthvað vel yfir milljón litla dimmera, myndavél sem breytir ljósi í rafstraum, hátalarar, sem eins og aðrir hátalarar taka titring í rafmagni og breyta í titring í lofti, og hljóðnemi, sem gerir það sama, nema öfugt.

Jú, svo er víst snertiskynjari í skjánum -- sem sendir mismikinn straum til nokkurra straummæla eftir því hvar fingurnir snerta skjáinn -- og nokkrar litlar græjur sem nefnast hröðunarmælar. (Hröðunarmælar mæla hvernig örlítið lóð hreyfist fram og til baka og segja þannig, meðal annars, til um hvernig síminn snýr.) Þar er líka græja sem gerir einmitt öfugt við það sem hröðunarmælarnir gera -- tekur við rafstraumi og hreyfir þannig lítið lóð. Sem sagt -- titrari (mér skilst að fyrsta „X-rated“ iPhone-appið sem Apple samþykkti -- sem nefnist „MyVibe“ -- nýti sér einmitt þann tiltekna íhlut.)

Svo væri tæplega hægt að kalla þessa tölvu síma nema fyrir sendi og móttakara -- græjur sem annars vegar nota rafstraum til þess að losa ljóseindir -- örbylgjur -- og hins vegar gefa frá sér rafstraum þegar ljóseindir skella á þeim. (Svipaður sendir og móttakari er fyrir WiFi-kerfið, nema þá eru notaðar aðrar bylgjulengdir -- á sviði útvarpsbylgja í stað örbylgja.)

Allir hlutirnir hér að ofan eru svokallaðir orkubreytar (e. transducer). Þeir taka eitt form af orku og breyta í annað. „Orka“ er stundum erfitt hugtak en það má -- án þess að ljúga neitt óskaplega mikið -- segja að þessir orkubreytar breyti allir titringi í annars konar titring. (Helsta undantekningin er rafhlaðan. Hún geymir efnaorku -- eins konar stöðuorku, sem -- líkt og spennt fjöður -- er titringur sem bíður eftir að verða til.)

Með þeim augum er þá rafstraumur titringur í rafeindum; ljós, örbylgjur og útvarpsbylgjur eru titringur í rafsegulsviðinu* og hljóð er -- auðvitað -- titringur í lofti (eða öðrum efnum ef svo vill til). Titringurinn frá titraranum er -- titringur. Í efni. Hvað hélstu?

(*Ég hef þegar samið eina færslu um rafsegulbylgjur og það væri efni í margar enn að tjá bara þann takmarkaða skilning sem ég hef á efninu. Látum okkur nægja að hugsa um rafsegulsvið sem eins konar ósýnilegt „efni“ sem umlykur allt. Ég vona bara að þeir eðlisfræðingar sem kunna að búa til bréfsprengjur séu of uppteknir til að senda mér póst.)

Stundum, eins og í lóðinu í hröðunarmælinum, er reyndar hreyfingin aðeins of löt til að það megi með góðu móti tala um titring. Það hafa þó flestir séð trommara slá kjuða á húð og þannig breyta nokkuð beinni hreyfingu í titring svo tengingin ætti ekki að vera of framandi.

Að sjá, hlusta og finna

Nú gæti þurft að fjarlægja nokkrar skrúfur, smá víradrasl og plasthlífar, ef til vill einhverja takka og hugsanlega einn eða tvo byltingarkennda íhluti sem ég gleymdi alveg að nefna. En ef ég fer ekki fram úr sjálfum mér ætti að standa eftir eitthvað þessu líkt:

Móðurborð er fínt orð yfir „plastspjald með áföstum vírum og
öllu dótinu sem við mundum ekki nenna að fikta í.“

Þetta kallast móðurborð.

Á móðurborðinu eru meðal annars litlar rásir sem breyta stafrænum rafboðum í flaumræn rafboð (e. Digital-to-Analog Converter eða DAC) og aðrir kubbar (Analog-to-Digital Converter -- ADC) sem gera hið gagnstæða.

Þegar manneskja les nótur og leikur lagið á fiðlu tekur hún á sig sama hlutverk með því að breyta því sem er á nótunum (stafrænt -- nótur eru „stafir“ í þeim skilningi) í margslungnar hreyfingar handanna („flaumrænt“) sem svo framkallar tónlist (líka flaumrænt).

Þessir kubbar eru nauðsynlegir til að framkalla meðal annars mynd og hljóð og sömuleiðis til að breyta boðum frá myndavél og hljóðnema í stafræn rafboð. Líkt og það þýðir lítið að leggja miða með textanum „30 km/klst“ á bensíngjöf mundi hátalari tæplega gera margt að gagni með stafræn boð.

Hönnun DAC- og ADC-eininga er lykilþáttur í að gera tölvur jafngagnlegar (og gera þær að jafnmikilli tímasóun) og þær eru í dag. Ýmsar, misflóknar leiðir eru til að búa þær til en ég ætla ekki að fara sérstaklega í það núna (fyrst og fremst því ég hef ekki hugmynd um hvernig þær virka).

Allt sem ég hef nefnt er fáránlega sniðugt, ótrúlega merkilegt og er án efa afrakstur þjáninga, þrotlausrar vinnu og brostinna hjónabanda. Það mætti að ósekju semja heilu bækurnar um efnið (það er reyndar gert í nokkuð stórum stíl).

Ég er búinn að tína til, í grófum dráttum, allar leiðir sem tölvan hefur til þess að tjá sig og skilja. Það er bara einn þáttur eftir: Karlinn í kassanum, púkinn með talnagrindina; tölvan.

Hvers konar vél skilur og gerir sig skiljanlega en skilur þó ekkert og hefur engar meiningar?

Ég byrjaði þessa færslu til þess eins að komast að þessari spurningu en ég sé núna að sú spurning væri prýðilegt efni í næstu færslu. (J.J. Abrams væri sammála mér).

Þar til næst,

Einar Axel

Ótti og fyrirlitning...

Marilyn vos Savant að búa sig undir
að svara öðru bréfi um geitur og sportbíla

Ég hef séð fólk verða beinlínis reitt þegar ég segi þeim frá sumum niðurstöðum úr stærðfræði. Til dæmis að sléttu tölurnar eru jafnmargar og allar jákvæðar heiltölur eða að óendanlega tugabrotið 0,999... er jafnt og 1.

En eitt stærðfræðidæmi er þó sérstaklega alræmt (og svo tíðrætt að ég hugsa að þeir stærðfræðingar sem lesa þetta gætu andvarpað þreytulega þegar þeir sjá hvert ég er að fara) fyrir að hafa valdið heift og sundrung -- ekki aðeins meðal almennings -- heldur meðal lærðra stærðfræðinga. Það er jafnan þekkt sem Monty Hall-dæmið.

Frá því 1986 hefur Marilyn vos Savant -- sem vann sér til frægðar að hafa komist í heimsmetabók Guinness sem sú manneskja sem hæsta greindarvísitölu hafði í heimi -- skrifað pistilinn „Spurðu Marilyn“ í bandaríska tímaritið Parade. Árið 1990 fékk Marilyn senda eftirfarandi spurningu:

Ímyndum okkur sjónvarpsleik þar sem velja má þrennar dyr. Bak við einar dyr er bíll en að baki hinna tveggja eru geitur. Keppandinn velur dyr, til dæmis númer 1 og þáttastjórnandinn, sem veit hvað er bak við dyrnar, opnar aðrar dyr -- t.d. númer 3 -- þar sem stendur geit. Hann spyr keppandann: „Viltu heldur velja dyr númer 2?“ Væri það keppandanum í hag að breyta vali sínu? 

(Spurningin vísar óbeint til sjónvarpsþáttarins Let's Make a Deal sem hóf göngu sína í Bandaríkjunum á 7. áratug síðustu aldar og var þá stýrt af sjarmatröllinu Monty Hall.) 

Svar Marilyn var að, já, það væri keppandanum í hag að skipta og velja heldur þær dyr sem hann valdi ekki upphaflega; þannig væru líkurnar tvöfalt meiri en annars (þ.e. 2/3 í stað 1/3) að hann hreppti bílinn.

Monty Hall: Hver gæti eiginlega hugsað um
líkindafræði með þetta bros fyrir framan sig?

Sammála? Ef ekki, þá ertu ekki ein(n). Skemmst er frá því að segja að yfir Marilyn rigndi bréfum (hún segir um tíu þúsund) þar sem hver kepptist við annan að benda henni, af mismikilli kurteisi, á það hversu rangt hún hefði fyrir sér. Nærri 1000 háskóladoktorar, þar af margir stærðfræðingar, voru meðal bréfritara. Skrifaði einn:

Sem stærðfræðingur hef ég alvarlegar áhyggjur af skorti almennings á stærðfræðikunnáttu. Leggðu lið með að taka á þig villuna og sýna meiri varkárni í framtíðinni.

Líklega er fátítt að almenningur taki svo nærri sér stærðfræðidæmi, svo ef til vill má þó finna þann sólarblett.

Paul Erdős gekk aldrei
í öðru en silki. Í alvöru.

En raunin er að Marilyn hafði rétt fyrir sér.

Nú, stærðfræðingar eru fólk sem vill hafa vaðið fyrir neðan sig. Sannanir eru af eða á. Eðlilegt er þegar vafamál koma upp í ferlíkjum eins og rúmlega hundrað blaðsíðna sönnun Andrew Wiles á Síðustu setningu Fermat, sem fer yfir ókennilegar greinar eins og algebrulega rúmfræði og algebrulega talnafræði.

En Monty Hall-dæmið fer ekki í neitt slíkt. Því er þetta sérstaklega vandræðalegt fyrir stærðfræðisamfélagið. Eins og annar bréfritari sagði í bréfi til Marilyn: „Ef allir þessir doktorar hefðu rangt fyrir sér væri landinu mikill vandi á höndum.“

Jafnvel Paul Erdős -- ein helsta rokkstjarna tuttugustu aldar stærðfræði (m.a.s. þekktur af nokkuð ríkulegri amfetamínneyslu) -- lýsti því að niðurstaðan væri óhugsandi. Eftir að sjá formlegu sönnunina var hann ekki enn sannfærður -- hann sannfærðist ekki fyrr en hann sá tölvuhermun sem sýndi fram á að niðurstaðan stæðist.

Lausnina á dæminu má útskýra á þennan veg:

Í fyrsta lagi velur keppandinn dyr. Flestir sem þekkja örlítið til teningakasts ættu að geta fallist á að líkurnar eru 1/3 á að bíll sé bak við dyrnar sem keppandinn valdi -- 2/3 á að þar sé geit. 

Eða kannski langar hann bara í geit.

Nú opnar stjórnandinn einar dyr. Þá eru tvennar dyr eftir og helmingslíkur hljóta að vera á að bíllinn sé að baki hvorra þeirra, ekki satt? Nei! 

Lykillinn er að stjórnandinn veit hvar bíllinn er. En hann er ekki búinn að segja keppandanum það. Eða hvað? Stjórnandinn gaf nefnilega duldar upplýsingar þegar hann opnaði dyrnar. Hann gaf tölfræðilegar upplýsingar.

Ef keppandinn valdi dyr sem höfðu geit að baki sér -- það eru 2/3 líkur á því -- þá er stjórnandinn búinn að segja honum að dyrnar sem hafa bílinn að geyma eru þær síðustu, þær sem hvorki keppandinn né stjórnandinn valdi. Með líkunum 2/3 er stjórnandinn búinn að segja keppandanum hvar bíllinn er.

Ef keppandinn valdi hins vegar þær dyr sem höfðu bílinn -- stóru verðlaunin -- að baki hefði stjórnandinn ekki gefið neinar nýjar upplýsingar um hvar bíllinn er og í það væru mistök að skipta. En það eru bara 1/3 líkur á því og því vænlegra fyrir keppandann að veðja á fyrra tilfellið. 

Ef til vill er dæmið skýrara ef farið er í meiri öfgar: Segjum að dyrnar séu ekki þrjár, heldur milljón! 1.000.000 dyr, hverjar þeirra með geit að baki, nema einar, sem hefðu lúxusbíl að geyma. 

Nú, það væri algerlega vonlaust að giska á hvar bíllinn væri. Aðeins ein ágiskun af hverjum milljón mundi rata á réttar dyr. En hér er glaðningurinn: Eftir að keppandinn velur einar dyr segist stjórnandinn ætla að opna -- ekki einar -- heldur allar dyrnar, nema hann lætur vera þær sem keppandinn valdi og einar enn. Að auki veit keppandinn að stjórnandinn velur að opna bara dyr þar sem er geit að baki. 

1/3 – 2/3: Mundirðu frekar veðja á 1
og 2 eða 3, 4, 5 og 6?

Keppandinn getur alveg gleymt því að hafa fundið bílinn í upphafi -- einn af milljón eru ekki góðar líkur. Því hlýtur nánast bíllinn að vera að baki þessara einu dyra sem stjórnandinn valdi að skilja eftir. Með líkunum 999.999/1.000.000 mun keppandinn finna bílinn þar! 

Í upphaflega dæminu voru líkurnar ekki svo brjálæðislega keppandanum í hag -- en 2/3 er alltaf öruggara en 1/3.

Þetta dæmi og sagan sem fylgir því sýnir hversu undarlega líkindafræði (og tölfræði) getur leikið á almenning og lærða stærðfræðinga og hvernig raunveruleikinn reynist oft þvert á innsæi. (Staðhæfingin 0,999...=1 hefur lítið sem ekkert að segja um mannlega reynslu, annað en þessi líkindareikningur.)

Það er enginn vafi -- svona er niðurstaðan: 2/3 á móti 1/3. Stærðfræðileg sönnun gefur ekkert eftir. En samt má jafnvel enn í dag finna stærðfræðinga sem þræta.

Undarleg veröld, stærðfræðin.

Leitin að fjólubláum

Margir læra sem börn að blanda litum til að fá út aðra liti. Þannig má til dæmis blanda blárri málningu við gula og fá út grænan lit eða blárri við rauða og fá út fjólubláan.

Sumir læra svo síðar um ljósið. Þá er okkur sagt að hvítt ljós sé blanda af öllum litum! Falli ljós sólarinnar (sem er nokkurn veginn hvítt, ekki gult þótt sólin virðist oft gul) gegnum glerstrending eða regndropa sem falla skiptist ljósið í mismunandi þætti sína og birtist okkur sem litróf -- regnbogi. Sé rýnt í regnbogann má sjá rautt innst, sem svo líður yfir í appelsínugult, gult, grænt, grænblátt og að lokum... blátt.

Nú, sumir kalla ysta litinn fjólubláan en réttara væri að segja dimmblár (í enskri tungu er talað um violet, sem er ekki alveg það sama og purple. Það þarf víst ekki að leita til fjarlægra menningarheima til að greina að fólk ber misjöfn kennsl á liti eftir orðaforða tungumálsins.) Í myndinni hér að ofan er hringurinn heill og tengir saman bláan og rauðan með ýmsum litbrigðum fjólublás en regnboginn býður ekki upp á þann munað. Það er ekki hægt að neita þeirri staðreynd: Regnboganum er lita vant.

Svo hvar er fjólublár?

Ljósið sem við sjáum er ein gerð svokallaðra rafsegulbylgna. Að skilja bylgjur er meira en að segja það -- hvað þá að skilja rafsegulbylgjur með sitt tvíeðli. (Bæði bylgjur og agnir, segirðu? Já, ég skil, agnir sem ferðast í bylgjuhreyfingu. Nei, raunveruleikinn er miklu undarlegri. Hugsaðu þér bókhaldara sem skilar framtalinu þínu og svarar tölvupóstum með vitrænum hætti en reynist vera blómapottur þegar hann er heimsóttur á skrifstofuna.)

Hins vegar er nóg hérna að átta sig á því að rafsegulbylgjur einkennast jafnan af tíðni (slögum á sekúndu) eða bylgjulengd (lengd milli slaganna). Ef tíðnin er hærri (fleiri slög eru á sekúndu) er bilið milli slaganna (bylgjulengdin) minna og öfugt.

Rafsegulbylgjur birtast á ýmsan hátt. Á spítalanum eru rafsegulbylgjur með bylgjulengd milli 0,01 og 10 nanómetra (í einum metra eru 1.000.000.000 nanómetrar) sendar gegnum líkama fólks á ljósnæma filmu svo skoða megi beinbrot og þeir Íslendingar sem hafa tæki stillt til að nema rafsegulbylgjur með bylgjulengd kringum 313 sentímetra gætu heyrt í Auðunni Blöndal rausa á FM957.

Í augum fólks, hins vegar, er augnbotninn þakinn frumum sem búa yfir ákveðnum efnum. Þau efni bregðast við rafsegulbylgjum sem hafa bylgjulengd sem fellur nærri bilinu 380-740 nanómetrum. Bylgjur af því tagi eru sagðar vera á sýnilega rafsegulrófinu og eru yfirleitt kallaðar ljós. Mismunandi bylgjulengdir örva mismunandi frumur.

Sýnilegt ljós sem hluti af rafsegulrófinu. Minni bylgjulengd (hærri tíðni) vinstra megin.

Svo gott sem komið er.

Ferns konar sjónfrumur eru í augnbotni manna (nema hjá litblindum eða í því sárasjaldgæfa tilfelli að fleiri tegundir eru til staðar): Ein tegund svokallaðra stafa, sem eru bæði flestar og næmastar og nema best ljós kringum blágrænt, og þrjár tegundir keila. Stafirnir eru fyrst og fremst gagnlegir þegar ljós er dauft og kemur lítið við þegar greint er milli lita.

Keilurnar eru það sem skiptir meira máli og gera mönnum kleift að sjá í lit.

Ókei, keilurnar eru sem sagt það sem skiptir máli og eru þrenns konar, S (fyrir short), M (fyrir medium) og L (fyrir long) en við skulum kalla þær hér bláar, grænar og rauðar (sem mun eflaust vekja pirring vísindamanna).

Næmni mismunandi keilufrumna fyrir mismunandi ljósi

En það er ekki alveg svo einfalt. Bláu frumurnar nema ekki bara eina bylgjulengd, heldur gefa mismikla svörun eftir því hvert ljósið er. Djúpblátt ljós gefur sterkasta svörun, sumt grænleitt ljós gefur svolitla svörun og hárautt ljós alls ekki neina. Það má líka fara lengra til vinstri á myndinni hér að ofan í átt frá bæði grænum og rauðum og sjá að slíkt ljós gefur heldur ekki svörun. Það kallast útfjólublátt.

Svipaða sögu má segja um rauðu og grænu keilurnar. (Rafsegulbylgjur sem kæmu rétt hægra megin við grafið kallast að sjálfsögðu innrautt ljós).

Þannig að: Ef við horfum á blöndu af ljósi með bylgjulengd 650 nm (rautt) og 550 nm (grænt) og nemum gult þýðir það ekki að ljósið „blandist saman“ og verði að gulu ljósi með bylgjulengd um 600 nm. Hið rétta er að bæði grænu og rauðu keilurnar eru örvaðar með svipuðum hætti og ef einlitt ljós af bylgjulengd (til dæmis) 600 nm félli á augnbotninn.

Þannig geta tölvuskjáir og sjónvörp sýnt nær alla liti sem eru á færi manneskju að skynja (alla regnbogans liti -- en bara miklu fleiri) með aðeins þrenns konar litablettum -- rauðum, grænum og bláum.

En hvað með fjólubláan?

Við vitum að sé blandað saman rauðum lit og bláum má ná þeim lit og líkum litbrigðum fram. En á grafinu hér að ofan sést að hvergi á litrófinu rísa rauðu og bláu ferlarnir saman nema græni ferillinn geri það líka -- t.d. rétt við 500 nm. En það gæfi ekki fjólubláan -- heldur eitthvað í átt að heiðbláum. Svo við förum bara beint í takkana: Skrúfum alla leið upp í bláu frumunum og alla leið upp í rauðu frumunum. Hvernig? Með bláu ljósi og rauðu ljósi.

Jæja, aftur á byrjunarreit. En nú veistu þetta: Það er ekki bara til ljós sem enginn getur séð (innrautt, útfjólublátt og -- með að teygja aðeins hugtakið -- allar aðrar rafsegulbylgjur en sýnilegt ljós) heldur geturðu líka séð ljós sem er ekki til (strangt til tekið: liti sem ekki eru á rófi hins sýnilega ljóss). Njóttu þess (Nema þú sért litblindur. Sorrí litblindir.):

75% rauður, 0% grænn, 100% blár

100% rauður, 0% grænn, 100% blár

(Allar myndir nema efsta teknar af Wikipediu.)

Vel á minnst: Greining hvíts ljóss í frumliti sína, staðfesting á agnaeðli ljóss og fjölmargt annað í þessum efnum kom upphaflega frá -- hverjum öðrum -- Isaac Newton. Til að skoða eðli ljóss og sjónar framkvæmdi hann meðal annars tilraun sem fólst í að stinga saumnál inn í eigin augntóft undir augað (ekki inn í augað) og sjá hvað mundi gerast.

Hvað er stærðfræði (ekki)?

Munið það krakkar: Deiling getur sigrast á illum geimverum.

Í fyrsta lagi er stærðfræði ekki reikningur.

Ég vona að ég misskiljist ekki. Reikningur og tölur eru mikilvæg í stærðfræði. Reikningur er jafnvel hluti af stærðfræði. En stærðfræði einskorðast ekki við reikning, frekar en tónlist eða tónfræði einskorðast við do-re-mí-fa-so-la-tí-do eða bókmenntir við stafsetningu.

Einu sinni var fagið sem nú kallast stærðfræði kennt í grunnskólum undir heitinu reikningur. Ef til vill stóð til að færa kennsluna út fyrir mörk hins leiðigjarna ferlis að læra margföldunartöflur og að leggja saman æ stærri tölur í höndunum en hver sem ásetningurinn var er sú ekki raunin -- að minnsta kosti síðast þegar ég leit við. Hvernig væri að -- í það minnsta þar til meiri árangri er náð -- grunnskólafagið fái bara að heita reikningur svo það klíni ekki sínu slæma orði á þessa ágætu grein?

Sem neðanmálsgrein við þessa staðhæfingu vil ég segja að stærðfræði er heldur ekki tölvuleikur. Þótt litríkar myndir séu settar utan um reikningsdæmi fangar það ekkert frekar kjarna stærðfræðinnar eða þá spennu og fegurð sem í henni má finna. Ef til vill er þannig frekar hægt að narra börn til þess að læra betur margföldunartöflur en ef einhver heldur því fram að stærðfræði geti verið skemmtileg er tölvuleikurinn Húrra fyrir Hermínu ekki nokkur sönnun.

Í öðru lagi er stærðfræði ekki auðveld.

Hvers vegna í ósköpunum ætti að eyða heilu árunum í að læra og tileinka sér eitthvað sem er auðvelt? Hvers vegna ætti þorri mannkyns að eiga í vandræðum með eitthvað sem er auðvelt? Að spila fótbolta -- að minnsta kosti að verða góður í fótbolta -- er ekki auðvelt. Að leika á hljóðfæri er ekki auðvelt. Allt verður auðveldara þegar það lærist en þá er tími til þess að færa út miðin og gera eitthvað erfitt.

En hvað um það.

Þrátt fyrir hversu margt hún er ekki, þá er stærðfræði ýmislegt þess í stað.

Þegar ég var krakki í grunnskóla rakst ég einhvern tímann á stærðfræðikennara -- trúlega einn þann hæfari -- sem sagði mér að ekki öll stærðfræði fengist við tölur. Svo kom hún með hinar og þessar gátur og lét okkur leysa þær -- gátur sem fengust jafnvel ekki við tölur yfirhöfuð.

Nú, ég hélt að hún hlyti að vera eitthvað pínulítið rugluð. Þetta væri bara annað plat til að láta stærðfræði virðast sem eitthvað spennandi. En í dag veit ég að hin almenna stærðfræðikennsla var rugluð -- ekki hún. Ég hafði eytt árum saman (og átti eftir að eyða mörgum árum enn) í að láta segja mér að reikningur sýndi stærðfræðina í öllu sínu veldi -- meðan gátur og heilabrot fóru miklu nær hinum raunverulega kjarna.

Bara á síðustu önn fékk ég reyndar eftirfarandi gátu sem dæmi til að leysa og greina í fagi sem nefnist netafræði (sem er ákaflega sniðug grein stærðfræðinnar þar sem tölur eru aðeins tækifærisgestir):

Hvernig flutt var yfir á 
úlfur, lamb og heypokinn? 
Ekkert granda öðru má 
Eitt og mann tók báturinn 

Nú, í fyrsta lagi þarf ekki að vera kunnugur netafræði til þess að geta leyst þessa gátu en það var þó eitt sem netafræðin hafði fært mér í þeim efnum: Þegar ég var barn og leysti gátuna í fyrsta sinn sá ég að lausnin gekk upp en vissi til dæmis ekki hvernig ég gat sannfært mig um að engin styttri leið væri fær. Mig skorti fótfestu þótt ég hefði reyndar komist á áfangastað. Með verkfærum netafræðinnar gat ég með sáraeinföldum hætti -- reyndar svo einföldum að ég mundi treysta mér til að útskýra lausnina fyrir nær hverjum sem er -- séð ferlið allt í einni andrá. (Til að þreyta ekki fólk ætla ég samt að bíða með að fara frekar út í það).

Þetta dregur fram að stærðfræði eins og hún kemur fyrir má með einföldun skipta í tvo þætti: Hugsun, í fyrsta lagi, þar sem hugmyndir fæðast og flæða og -- í öðru lagi -- verkfærin sem tæk eru mönnum  -- til að skilja og gera sig skiljanlega -- og ekki síður til þess að öðlast fótfestu í eigin hugsunum.

Það er margt fleira sem má setja upp á svipaðan hátt -- ekki síst listir -- og fljótt verður ljóst að þættirnir eru ekki aðskildir, heldur fléttaðir saman á flókinn hátt. Hugmyndir geta af sér ný verkfæri og verkfærin hafa áhrif á ferli óhlutbundinnar hugsunar.

Þannig ætla ég mér þó ekki að níða reikninginn um of. Reikningur og frændi hans bókstafareikningur eru gagnlegir í stærðfræði -- alveg eins og málfræði og orðaforði (og jafnvel stafsetning) eru mikilvæg rithöfundum og jafnvel lesendum bóka þeirra. En það þýðir ekki að orðabók sé heppilegur inngangur að lystisemdum bókmennta.

Hvað er kraftur? -- eða -- Þegar fræðin stálu hugtökunum

Í síðustu færslu var minnst á kraft.

Nú, kraftur er gamalt orð í íslenskri tungu. Ég hef ekki sögu merkingarinnar á hreinu en hliðstæð orð eru til í mörgum skyldum (germönskum) málum, ýmist með svipaða eða hliðraða merkingu. Í ensku er orðið „craft“ sem mundi yfirleitt þýðast yfir á íslensku sem „handverk,“ en á sér þó sama uppruna. Í bæði þýsku og dönsku er líka talað um „kraft,“ sem hefur þá frekar líka merkingu og í íslensku.

Það sem ég er að fara er að orðið er gamalt en eðlisfræðin ný. Það er að segja: Áður en íslendingar kynntust Newton eða Galileo eða jafnvel Arkímedes gátu þeir talað um kraft. Jafnvel þeir nútímamenn sem aldrei hafa lært eðlisfræði tala óspart um kraft. Bíll eða barn eða tölva gætu verið sögð kraftmikil eða ræða gæti verið flutt og einhver haft á orði að kraftur sé í ræðunni.

Svipað og ég gæti sagt að mér sé heitt í dag með 10 gráður úti en kalt á morgun með 15 gráður, þá eru þessi hugtök bara ekki söm í daglegu tali og þegar eðlisfræðingar nota þau. Sömu sögu er að segja um afl, orku, þrýsting, massa, þyngd og margt fleira. Á svipaðan hátt hefur rökfræðin ákveðnar skoðanir á því hvað orðin og, eða, ef og nokkrir þýða, sem taka takmarkað tillit til þess sem þér eða mér kann að finnast.

Í því skyni að útskýra hugtökin og ná á þeim tökum hafa fræðin óvart stolið hugtökunum og skilið úrkynjuð tvíburasystkini þeirra eftir á götunni.

Nú, úrkynjuðu tvíburasystkinin eru líklega ekki svo slæm en til þess að skilja eðlisfræði eða stærðfræði eða nokkuð annað er eina lausnin að gleyma því augnablik að þau séu til eða hafi nokkurn tímann verið til -- eða að minnsta kosti að gefa sér leyfi til þess. Það er nokkuð sem gleymdist að segja mér þegar ég fékk fyrst kennslu í eðlisfræði: Ég vissi ekki hvað kraftur er og allar hugmyndir sem ég hafði fyrir voru mér hindrun.

(Reyndar finnst mér enn að afl eigi betur við um það sem eðlisfræðin kallar kraft -- og öfugt. En danskan sagði kraftur og það er of seint að snúa við.)

Vel á minnst, ef einhver skyldi hafa áhuga:

Kraftur er forsenda hröðunar (ekki það sama og hraði).

Ef aðeins einn kraftur verkar á hlut verður hann fyrir hröðun í þá átt. Ef krafturinn tvöfaldast verður hröðunin líka tvöföld og svo framvegis. Ef fleiri kraftar verka á hlutinn leggjast þeir saman eða dragast hver frá öðrum -- eftir því hvert þeir stefna.

Hröðun er þá stærð sem segir hversu mikið hraði hlutar breytist á hverri tímaeiningu -- svo sem sekúndu (þetta gefur okkur hina ruglingslegu einingu „metrar á sekúndu á sekúndu“ -- yfirleitt orðað sem „metrar á sekúndu í öðru [veldi]“).

Að lokum er hraði stærð sem segir hversu langt hlutur ferðast á tímaeiningu.

Þegar Newton fann upp eplið

Það vita allir að Newton sá fyrstur manna að hlutir detta.

Sagan er sígild: Ísak sat og las Andrésblöð í makindum þegar eitt epli losnaði undan taumhaldi trésins og tók þráðbeina stefnu niður í hvirfil mannsins. Þannig var honum gert vart við þann sannleik að laust epli fer frekar niður en einhverja aðra leið, svo sem austur, austsuðaustur eða bara upp.

Eða þannig sá ég senuna fyrir mér sem barn. Eitt truflaði mig: Af hverju vissi fólk ekki að hlutir dyttu fyrr en Newton fékk epli í höfuðið? (Og svo má spyrja hvernig Newton datt í hug að setjast undir eplatré sem farið var að fella aldin.) Auðvitað vissi fólk það.

Til dæmis vissi Aristóteles strax á fjórðu öld fyrir Krist að hlutir dyttu (og satt best að segja hafa menn sjálfsagt vitað þetta frá því að þeir gátu fyrst kallast menn -- ef ekki fyrr). Eitt af því sem hann gerði sér grein fyrir var að ekki dettur allt. Loftið, til dæmis, hangir bara letilega yfir jörðinni og virðist ekkert sérstaklega spennt fyrir því að komast niður. Þegar eldur brennur eða vatn er hitað má sjá gufu og reyk rísa upp -- upp er ekki niður. Aristóteles taldi að allir hlutir hlytu að eiga sér náttúrulegan stað sem þeir leituðu í. Þetta féll nokkuð vel að hugmyndum um að jörðin væri í miðju alheims -- það hlyti að vera náttúrulegur staður þess sem átti rætur að rekja til jarðarinnar. Því leituðu hlutir niður (í átt að miðju jarðar, nánar tiltekið).

Nú, þessa sögu ber að segja því Aristóteles var trúlega enginn vitleysingur. Hann gerði tilraun til að rannsaka umhverfi sitt og greina  En þrátt fyrir það sem hann sá veittu skýringar hans mjög takmarkaða innsýn og reyndust að mörgu leyti rangar.

Kirkjunnar mönnum hugnaðist þó vel sú hugmynd að heimili manna lægi í miðju alheims, svo kenningar Aristótelesar lifðu áfram, að minnsta kosti í Vesturheimi.

Sumt það helsta í málunum frá því byrjaði með framlögum frá Nikólási Kóperníkus (1473-1543), Galileó Galilei (1564-1642) og Jóhannesi Kepler (1571-1630).

Þegar Newton kemur til sögunnar (f. 1642, d. 1727. Principia, hans höfuðverk í eðlisfræði, var gefin út 1687.) var, fyrir atbeina ofangreindra auk fjölda annarra, eftirfarandi ýmist orðið ljóst eða naut fylgis:

• Jörðin er ekki miðja alheims, heldur snýst um Sólina ásamt hinum reikistjörnunum.
• Reikistjörnurnar snúast ekki á hringlaga sporbrautum, heldur örlítið aflöngum -- sporöskjulaga -- brautum (og reyndar er Sólin ekki heldur í miðju sporbrautanna, heldur svolítið til hliðar -- í öðrum svokallaðra brennipunkta sporöskjunnar)
• Lögmál náttúrunnar má setja fram með stærðfræðilegum staðhæfingum.
• Hlutir falla jafnhratt til jarðar óháð þyngd nema fyrir verkun einhvers (krafts) svo sem núnings. (Aristótelísk eðlisfræði sagði almennt að þyngri hlutir falli hraðar).

Hvað gerði Newton þá, fyrst allt þetta lá þegar frammi?

Newton var einn afkastamesti vísindamaður sögunnar (þættir sögunnar hafa reyndar alltaf verið umdeildir, það er ekki fullljóst að hversu miklu leyti hugmyndir hans voru þegar til meðal manna þegar verk hans voru gefin út) svo það væri óhugsandi að nefna framlag hans í einni andrá. Í efnum þyngdarlögmálsins lá hans framlag þó að miklu leyti í tvennu:

Annars vegar í þeirri uppljómun að reikistjörnurnar og Tunglið eru ekki undanskildar þyngdarkrafti jarðar, né heldur þyngdarkrafti sólar -- ekki frekar en epli sem hangir á tré, sem er líking sem vinur hans, Alexander Pope, skráði í bækur sínar og er líkast til uppruni sögunnar sem allir þekkja á einn eða annan hátt um Newton og eplið. Hins vegar lá framlagið í að þróa stærðfræðilegar aðferðir sem nauðsynlegar voru honum til þess að þróa kenningar sínar.

Í stuttu máli var útkoman það lögmál sem kallast oft Þyngdarlögmál Newtons eða nánar tiltekið „Lögmál Newtons um altæka þyngdarverkun.“ Nokkurn veginn svona hljóðar það (NB: „hlutur“ er hér svokallaður „punktmassi“ -- nálgun á raunveruleikann sem gerir ráð fyrir að hluturinn sé svo agnarsmár að hann hefur enga stærð til að tala um heldur bara massa -- og því þyngd):

Sérhver hlutur verkar á sérhvern annan hlut með aðdráttarkrafti sem er í hlutfalli við margfeldi massa hlutanna tveggja og í öfugu hlutfalli við annað veldi fjarlægðarinnar milli þeirra.

 Eða í þjappaðri útgáfu:

(Hér er F krafturinn sem er lýst, m1 og m2 eru massarnir tveir og r er fjarlægðin milli hlutanna. G er „þyngdarfastinn,“ sem er tala sem var ekki mæld fyrr en rétt í blálok 18. aldar en er alltaf sú sama.)

Eins skondin og sagan um eplið og hausinn og Andrésblöðin er þá missir hún algerlega marks í þeim tilgangi að útskýra. Hún ber varla nokkuð samhengi með sér yfirhöfuð, hvorki sögulegt né vísindalegt. Ég (eins og trúlega flestir) hafði mjög óljósa hugmynd allt fram í menntaskóla um hvað þyngdarlögmálið væri og að slík lögmál væru sett fram á svona stærðfræðimáli.

Þrátt fyrir það er lögmálið ekki flókið. Hér eru engar aðgerðir framkvæmdar nema margföldun og deiling. Stærðfræðilega. Eðlisfræðilega er rétt að taka fram að hugtökin massi og kraftur eru alls ekki augljós en jöfnur sem þessar -- margar settar fram af Newton sjálfum -- eru lykillinn að því að skilja þau.

Og hver var stærðfræðin sem Newton þróaði? Deildun og heildun (eða diffrun og tegrun), skilningur á samhenginu þeirra á milli og margar aðferðir til að vinna með hugtökin eru frá honum komin.

(Eins og allt annað í þekkingarsögunni er það þó ekki einfalt -- Gottfried von Leibniz gerði nokkurn veginn það sama og lagði ýmislegt nýtt til málanna tíu árum síðar, óháð Newton. Aðrir höfðu líka áður áttað sig á sumum þáttum hugtakanna, án þess þó að færa þau í mjög nothæft form.)

Sú nýjung, stærðfræðigreiningin, var forsenda þess að eðlisfræðin gæti starfað á skilvirkan hátt; að við skildum með hvaða hætti hlutir féllu til jarðar og hvernig kraftar verka almennt á hluti. Ein helsta forsenda þess að til eru bifreiðar og ýmis raftæki allt frá brauðrist til tölvunnar er stærðfræðigreiningin. Jafnvel líkindafræði -- og þar með tölfræði -- og þar með snar þáttur félagsvísindanna -- hefur tekið ómetanlegan sjóð frá þeim aðferðum.

Pirraðir menntaskólanemar (og háskólanemar) spyrja mig oft hvar þetta rugl gagnist eiginlega.

Svo hér er svarið: Nánast alls staðar; án stærðfræðigreiningar væru algeng hugtök eins og hraði, normaldreifing og rafspenna móðu hulin.

(Ef ég fór með einhverjar alvarlegar rangfærslur hér að ofan má endilega leiðrétta þær.)