Ótti og fyrirlitning...

Marilyn vos Savant að búa sig undir
að svara öðru bréfi um geitur og sportbíla

Ég hef séð fólk verða beinlínis reitt þegar ég segi þeim frá sumum niðurstöðum úr stærðfræði. Til dæmis að sléttu tölurnar eru jafnmargar og allar jákvæðar heiltölur eða að óendanlega tugabrotið 0,999... er jafnt og 1.

En eitt stærðfræðidæmi er þó sérstaklega alræmt (og svo tíðrætt að ég hugsa að þeir stærðfræðingar sem lesa þetta gætu andvarpað þreytulega þegar þeir sjá hvert ég er að fara) fyrir að hafa valdið heift og sundrung -- ekki aðeins meðal almennings -- heldur meðal lærðra stærðfræðinga. Það er jafnan þekkt sem Monty Hall-dæmið.

Frá því 1986 hefur Marilyn vos Savant -- sem vann sér til frægðar að hafa komist í heimsmetabók Guinness sem sú manneskja sem hæsta greindarvísitölu hafði í heimi -- skrifað pistilinn „Spurðu Marilyn“ í bandaríska tímaritið Parade. Árið 1990 fékk Marilyn senda eftirfarandi spurningu:

Ímyndum okkur sjónvarpsleik þar sem velja má þrennar dyr. Bak við einar dyr er bíll en að baki hinna tveggja eru geitur. Keppandinn velur dyr, til dæmis númer 1 og þáttastjórnandinn, sem veit hvað er bak við dyrnar, opnar aðrar dyr -- t.d. númer 3 -- þar sem stendur geit. Hann spyr keppandann: „Viltu heldur velja dyr númer 2?“ Væri það keppandanum í hag að breyta vali sínu? 

(Spurningin vísar óbeint til sjónvarpsþáttarins Let's Make a Deal sem hóf göngu sína í Bandaríkjunum á 7. áratug síðustu aldar og var þá stýrt af sjarmatröllinu Monty Hall.) 

Svar Marilyn var að, já, það væri keppandanum í hag að skipta og velja heldur þær dyr sem hann valdi ekki upphaflega; þannig væru líkurnar tvöfalt meiri en annars (þ.e. 2/3 í stað 1/3) að hann hreppti bílinn.

Monty Hall: Hver gæti eiginlega hugsað um
líkindafræði með þetta bros fyrir framan sig?

Sammála? Ef ekki, þá ertu ekki ein(n). Skemmst er frá því að segja að yfir Marilyn rigndi bréfum (hún segir um tíu þúsund) þar sem hver kepptist við annan að benda henni, af mismikilli kurteisi, á það hversu rangt hún hefði fyrir sér. Nærri 1000 háskóladoktorar, þar af margir stærðfræðingar, voru meðal bréfritara. Skrifaði einn:

Sem stærðfræðingur hef ég alvarlegar áhyggjur af skorti almennings á stærðfræðikunnáttu. Leggðu lið með að taka á þig villuna og sýna meiri varkárni í framtíðinni.

Líklega er fátítt að almenningur taki svo nærri sér stærðfræðidæmi, svo ef til vill má þó finna þann sólarblett.

Paul Erdős gekk aldrei
í öðru en silki. Í alvöru.

En raunin er að Marilyn hafði rétt fyrir sér.

Nú, stærðfræðingar eru fólk sem vill hafa vaðið fyrir neðan sig. Sannanir eru af eða á. Eðlilegt er þegar vafamál koma upp í ferlíkjum eins og rúmlega hundrað blaðsíðna sönnun Andrew Wiles á Síðustu setningu Fermat, sem fer yfir ókennilegar greinar eins og algebrulega rúmfræði og algebrulega talnafræði.

En Monty Hall-dæmið fer ekki í neitt slíkt. Því er þetta sérstaklega vandræðalegt fyrir stærðfræðisamfélagið. Eins og annar bréfritari sagði í bréfi til Marilyn: „Ef allir þessir doktorar hefðu rangt fyrir sér væri landinu mikill vandi á höndum.“

Jafnvel Paul Erdős -- ein helsta rokkstjarna tuttugustu aldar stærðfræði (m.a.s. þekktur af nokkuð ríkulegri amfetamínneyslu) -- lýsti því að niðurstaðan væri óhugsandi. Eftir að sjá formlegu sönnunina var hann ekki enn sannfærður -- hann sannfærðist ekki fyrr en hann sá tölvuhermun sem sýndi fram á að niðurstaðan stæðist.

Lausnina á dæminu má útskýra á þennan veg:

Í fyrsta lagi velur keppandinn dyr. Flestir sem þekkja örlítið til teningakasts ættu að geta fallist á að líkurnar eru 1/3 á að bíll sé bak við dyrnar sem keppandinn valdi -- 2/3 á að þar sé geit. 

Eða kannski langar hann bara í geit.

Nú opnar stjórnandinn einar dyr. Þá eru tvennar dyr eftir og helmingslíkur hljóta að vera á að bíllinn sé að baki hvorra þeirra, ekki satt? Nei! 

Lykillinn er að stjórnandinn veit hvar bíllinn er. En hann er ekki búinn að segja keppandanum það. Eða hvað? Stjórnandinn gaf nefnilega duldar upplýsingar þegar hann opnaði dyrnar. Hann gaf tölfræðilegar upplýsingar.

Ef keppandinn valdi dyr sem höfðu geit að baki sér -- það eru 2/3 líkur á því -- þá er stjórnandinn búinn að segja honum að dyrnar sem hafa bílinn að geyma eru þær síðustu, þær sem hvorki keppandinn né stjórnandinn valdi. Með líkunum 2/3 er stjórnandinn búinn að segja keppandanum hvar bíllinn er.

Ef keppandinn valdi hins vegar þær dyr sem höfðu bílinn -- stóru verðlaunin -- að baki hefði stjórnandinn ekki gefið neinar nýjar upplýsingar um hvar bíllinn er og í það væru mistök að skipta. En það eru bara 1/3 líkur á því og því vænlegra fyrir keppandann að veðja á fyrra tilfellið. 

Ef til vill er dæmið skýrara ef farið er í meiri öfgar: Segjum að dyrnar séu ekki þrjár, heldur milljón! 1.000.000 dyr, hverjar þeirra með geit að baki, nema einar, sem hefðu lúxusbíl að geyma. 

Nú, það væri algerlega vonlaust að giska á hvar bíllinn væri. Aðeins ein ágiskun af hverjum milljón mundi rata á réttar dyr. En hér er glaðningurinn: Eftir að keppandinn velur einar dyr segist stjórnandinn ætla að opna -- ekki einar -- heldur allar dyrnar, nema hann lætur vera þær sem keppandinn valdi og einar enn. Að auki veit keppandinn að stjórnandinn velur að opna bara dyr þar sem er geit að baki. 

1/3 – 2/3: Mundirðu frekar veðja á 1
og 2 eða 3, 4, 5 og 6?

Keppandinn getur alveg gleymt því að hafa fundið bílinn í upphafi -- einn af milljón eru ekki góðar líkur. Því hlýtur nánast bíllinn að vera að baki þessara einu dyra sem stjórnandinn valdi að skilja eftir. Með líkunum 999.999/1.000.000 mun keppandinn finna bílinn þar! 

Í upphaflega dæminu voru líkurnar ekki svo brjálæðislega keppandanum í hag -- en 2/3 er alltaf öruggara en 1/3.

Þetta dæmi og sagan sem fylgir því sýnir hversu undarlega líkindafræði (og tölfræði) getur leikið á almenning og lærða stærðfræðinga og hvernig raunveruleikinn reynist oft þvert á innsæi. (Staðhæfingin 0,999...=1 hefur lítið sem ekkert að segja um mannlega reynslu, annað en þessi líkindareikningur.)

Það er enginn vafi -- svona er niðurstaðan: 2/3 á móti 1/3. Stærðfræðileg sönnun gefur ekkert eftir. En samt má jafnvel enn í dag finna stærðfræðinga sem þræta.

Undarleg veröld, stærðfræðin.